optByHestonFFT

Цена опциона по модели Heston с использованием FFT и FRFT

Синтаксис

[Price, StrikeOut] = optByHestonFFT (Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,V0,ThetaV,Kappa,SigmaV,RhoSV)

[Price, StrikeOut] = optByHestonFFT (___, имя, значение)

Описание

[Price,StrikeOut] = optByHestonFFT(Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,V0,ThetaV,Kappa,SigmaV,RhoSV) вычисляет цену европейского варианта ванили по модели Heston, используя методы Carr-Madan FFT и Chourdakis FRFT.

пример

[Price,StrikeOut] = optByHestonFFT(___,Name,Value) добавляет необязательные аргументы пары имя-значение.

Примеры

свернуть все

Рабочий процесс печати поверхности цены опциона с использованием модели Heston

Открыть сценарий в реальном времени

Использовать optByHestonFFT для калибровки страйк-сетки БПФ, а затем вычисления цен опционов и построения графика поверхности цен опционов.

Определение переменных опций и параметров модели Heston

AssetPrice = 80;
Rate = 0.03;
DividendYield = 0.02;
OptSpec = 'call';

V0 = 0.04;
ThetaV = 0.05;
Kappa = 1.0;
SigmaV = 0.2;
RhoSV = -0.7;

Расчет опционных цен для всей страйк-сетки БПФ (или FRFT) без указания «страйк»

Вычислите цены опционов, а также выведите соответствующие страйки. Если Strike вход пуст ( [] ), цены опционов будут рассчитываться по всей страйк-сетке FFT (или FRFT). Ударная сетка БПФ (или БПФ) определяется как exp(log-strike grid), где каждый столбец сетки log-strike имеет NumFFT точки с LogStrikeStep интервалы, которые грубо центрированы вокруг каждого элемента лога (AssetPrice). Значение по умолчанию для NumFFT равно 2 ^ 12. В дополнение к ценам в первом выпуске, дополнительный последний выпуск содержит соответствующие страйки.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT strike grid)

% Compute option prices for the entire FFT strike grid
[Call, Kout] =  optByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield);

% Show the lowest and highest strike values on the FFT strike grid
format
MinStrike = Kout(1) % Lowest possible strike in the current FFT strike grid

MinStrike = 2.9205e-135

MaxStrike = Kout(end) % Highest possible strike in the current FFT strike grid

MaxStrike = 1.8798e+138

% Show a subset of the strikes and corresponding option prices
Range = (2046:2052);
[Kout(Range) Call(Range)]

ans = 7×2

   50.4929   29.4843
   58.8640   21.3767
   68.6231   12.5614
   80.0000    4.7008
   93.2631    0.6496
  108.7251    0.0144
  126.7505    0.0001

Изменить количество точек БПФ (или БПФ) и Сравнить с optByHestonNI

Попробуйте использовать другое количество точек БПФ (или БПФ) и сравните результаты с прямым числовым интегрированием. В отличие от этого, optByHestonFFT, который использует методы FFT (или FRFT) для быстрого вычисления по всему спектру ударов, optByHestonNI функция использует прямое численное интегрирование, и обычно она медленнее, особенно при многократных ударах. Однако значения, вычисленные optByHestonNI может служить эталоном для корректировки настроек для optByHestonFFT.

% Try a smaller number of FFT (or FRFT) points 
% (e.g. for faster performance or smaller memory footprint)
NumFFT = 2^10; % Smaller than the default value of 2^12
Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT strike grid)
[Call, Kout] = optByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT);

% Compare with numerical integration method
Range = (510:516);
Strike = Kout(Range);
CallFFT = Call(Range);
CallNI = optByHestonNI(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, V0, ...
    ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield);
Error = abs(CallFFT-CallNI);
table(Strike, CallFFT, CallNI, Error)

ans=7×4 table
    Strike     CallFFT       CallNI         Error  
    ______    _________    ___________    _________

    12.696       66.066         66.696      0.62964
    23.449       55.766         56.103      0.33672
    43.312       36.359         36.539      0.17974
        80       4.7727         4.7007     0.071928
    147.76     0.066156     2.3472e-08     0.066156
    272.93     0.013271    -2.5036e-09     0.013271
    504.11    0.0034504    -3.0876e-07    0.0034508

Дальнейшие корректировки БПФ (или БПФ)

Если значения в выходных данных CallFFT значительно отличаются от таковых в CallNI, попробуйте внести коррективы в optByHestonFFT настройки, такие как CharacteristicFcnStep, LogStrikeStep, NumFFT, DampingFactorи так далее. Обратите внимание, что если (LogStrikeStep * CharacteristicFcnStep) равно 2 * pi/NumFFT, используется БПФ. В противном случае используется FRFT.

Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT or FRFT strike grid)
[Call, Kout] = optByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001);

% Compare with numerical integration method
Strike = Kout(Range);
CallFFT = Call(Range);
CallNI = optByHestonNI(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, V0, ...
    ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield);
Error = abs(CallFFT-CallNI);
table(Strike, CallFFT, CallNI, Error)

ans=7×4 table
    Strike    CallFFT    CallNI      Error   
    ______    _______    ______    __________

    79.76      4.826      4.826    2.7708e-08
    79.84     4.7841     4.7841    3.0111e-08
    79.92     4.7423     4.7423    3.2376e-08
       80     4.7007     4.7007    3.4496e-08
    80.08     4.6593     4.6593    3.6457e-08
    80.16     4.6181     4.6181    3.8253e-08
    80.24      4.577      4.577    3.9872e-08

% Save the final FFT (or FRFT) strike grid for future reference. For
% example, it provides information about the range of Strike inputs for
% which the FFT (or FRFT) operation is valid.
FFTStrikeGrid = Kout;
MinStrike = FFTStrikeGrid(1) % Strike cannot be less than MinStrike

MinStrike = 47.9437

MaxStrike = FFTStrikeGrid(end) % Strike cannot be greater than MaxStrike

MaxStrike = 133.3566

Расчет опционной цены для одной забастовки

После определения требуемых настроек БПФ (или БПФ) используйте Strike ввод для указания ударов вместо предоставления пустого массива. Если указанные удары не совпадают со значением на сетке ударов БПФ (или FRFT), выходные данные интерполируются на указанных ударах.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = 80; 

Call =  optByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001)

Call = 4.7007

Расчет опционных цен для вектора забастовок

Используйте Strike ввод для указания ударов.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = (76:2:84)';

Call =  optByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001)

Расчет опционных цен для вектора ударов и вектора дат одинаковой длины

Используйте Strike ввод для указания ударов. Также, Maturity ввод может быть вектором, но он должен соответствовать длине Strike вектор, если ExpandOutput аргумент пары имя-значение не установлен в значение "true".

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, [12 18 24 30 36]); % Five maturities
Strike = [76 78 80 82 84]'; % Five strikes

Call =  optByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001) % Five values in vector output

Развернуть выходные данные поверхности

Установите ExpandOutput аргумент пары имя-значение для "true" для расширения выходных данных в NStrikesоколо NMaturities матрицы. В этом случае они являются квадратными матрицами.

[Call, Kout] =  optByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001, ...
    'ExpandOutput', true) % (5 x 5) matrix outputs

Call = 5×5

    8.9560   10.4543   11.7058   12.8009   13.7728
    7.7946    9.3419   10.6337   11.7644   12.7685
    6.7244    8.3028    9.6240   10.7828   11.8134
    5.7475    7.3379    8.6771    9.8560   10.9074
    4.8645    6.4474    7.7930    8.9840   10.0500

Kout = 5×5

    76    76    76    76    76
    78    78    78    78    78
    80    80    80    80    80
    82    82    82    82    82
    84    84    84    84    84

Расчет опционных цен для вектора ударов и вектора дат различной длины

Когда ExpandOutput является "true", NStrikes не обязательно соответствовать NMaturities (то есть выход NStrikesоколо-NMaturities матрица может быть прямоугольной).

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12*(0.5:0.5:3)'); % Six maturities
Strike = (76:2:84)'; % Five strikes

Call =  optByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001, ...
    'ExpandOutput', true) % (5 x 6) matrix output

Call = 5×6

    7.0401    8.9560   10.4543   11.7058   12.8009   13.7728
    5.8053    7.7946    9.3419   10.6337   11.7644   12.7685
    4.7007    6.7244    8.3028    9.6240   10.7828   11.8134
    3.7316    5.7475    7.3379    8.6771    9.8560   10.9074
    2.8991    4.8645    6.4474    7.7930    8.9840   10.0500

Расчет опционных цен для вектора забастовок и вектора цен активов

Когда ExpandOutput является "true", выходной сигнал также может быть NStrikesоколо-NAssetPrices прямоугольная матрица путем принятия вектора цен активов.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12); % Single maturity
ManyAssetPrices = [70 75 80 85]; % Four asset prices
Strike = (76:2:84)'; % Five strikes

Call =  optByHestonFFT(Rate, ManyAssetPrices, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001, ...
    'ExpandOutput', true) % (5 x 4) matrix output

Call = 5×4

    3.2944    5.8047    8.9560   12.6052
    2.6413    4.8810    7.7946   11.2507
    2.0864    4.0575    6.7244    9.9738
    1.6230    3.3325    5.7475    8.7783
    1.2429    2.7028    4.8645    7.6676

Печать поверхности цены опциона

Используйте Strike ввод для указания ударов. Увеличить значение для NumFFT поддерживать более широкий спектр ударов. Также, Maturity входным может быть вектор. Набор ExpandOutput кому "true" для вывода поверхности в виде NStrikesоколо-NMaturities матрица.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12*[1/12 0.25 (0.5:0.5:3)]');
Times = yearfrac(Settle, Maturity);
Strike = (2:2:200)';

% Increase 'NumFFT' to support a wider range of strikes
NumFFT = 2^13;

Call =  optByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001, 'ExpandOutput', true);

[X,Y] = meshgrid(Times,Strike);

figure;
surf(X,Y,Call);
title('Price');
xlabel('Years to Option Expiry');
ylabel('Strike');
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);
zlim([0 80]);

Figure contains an axes. The axes with title Price contains an object of type surface.

Входные аргументы

свернуть все

`Rate` - Постоянно усложняемая безрисковая процентная ставка
десятичное число

Непрерывно складываемая безрисковая процентная ставка, заданная как скалярное десятичное значение.

Типы данных: double

`AssetPrice` - Текущая базовая цена актива
числовой

Текущая базовая цена актива, указанная как числовое значение с использованием скаляра или NINSTоколо-1 или NColumnsоколо-1 вектор.

Дополнительные сведения о соответствующих размерах для AssetPrice, см. аргумент пара имя-значение ExpandOutput.

Типы данных: double

`Settle` - Дата расчета опциона
серийный номер даты | вектор символов даты | datetime | строковый массив

Дата расчета опциона, указанная как NINSTоколо-1 или NColumnsоколо-1 вектор с использованием серийных номеров дат, векторов символов даты, массивов даты и времени или строковых массивов. Settle дата должна быть до Maturity дата.

Дополнительные сведения о соответствующих размерах для Settle, см. аргумент пара имя-значение ExpandOutput.

Типы данных: double | char | datetime | string

`Maturity` - Дата погашения опциона
серийный номер даты | вектор символов даты | datetime | строковый массив

Дата погашения опциона, указанная как NINSTоколо-1 или NColumnsоколо-1 вектор с использованием серийных номеров дат, векторов символов даты, массивов даты и времени или строковых массивов.

Дополнительные сведения о соответствующих размерах для Maturity, см. аргумент пара имя-значение ExpandOutput.

Типы данных: double | char | datetime | string

`OptSpec` - Определение опциона
массив ячеек символьного вектора со значениями `'call'` или `'put'` | строковый массив со значениями `"call"` или `"put"`

Определение опции как 'call' или 'put', указано как NINSTоколо-1 или NColumnsоколо-1 вектор с использованием массива ячеек из символьных векторов или строковых массивов со значениями "call" или "put".

Дополнительные сведения о соответствующих размерах для OptSpec, см. аргумент пара имя-значение ExpandOutput.

Типы данных: cell | string

`Strike` - Цена страйка опциона
числовой

Цена страйка опциона, указанная как NINSTоколо-1, NRowsоколо-1, NRowsоколо-NColumns вектор ударных цен.

Если этот вход является пустым массивом ([]), цены опционов вычисляются по всей страйк-сетке FFT (или FRFT), которая определяется как exp(log-strike grid). Каждый столбец сетки log-strike имеет 'NumFFT' точки с 'LogStrikeStep' интервалы, которые грубо центрированы вокруг каждого элемента log(AssetPrice).

Дополнительные сведения о соответствующих размерах для Strike, см. аргумент пара имя-значение ExpandOutput.

Типы данных: double

`V0` - Первоначальное отклонение базового актива
числовой

Начальная дисперсия подстилающего актива, заданная как скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`ThetaV` - Долгосрочное отклонение базового актива
числовой

Долгосрочная дисперсия подстилающего актива, заданная как скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`Kappa` - Средняя скорость пересмотра для отклонения базового актива
числовой

Средняя скорость пересмотра для подстилающего актива, заданная как скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`SigmaV` - Волатильность отклонения базового актива
числовой

Волатильность дисперсии недоделанного актива, определяемая как скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`RhoSV` - Корреляция между процессами Weiner для базового актива и его отклонением
числовой

Корреляция между процессами Вайнера для базового актива и его дисперсией, заданная как скалярное числовое значение.

Типы данных: double

Аргументы пары «имя-значение»

Укажите дополнительные пары, разделенные запятыми Name,Value аргументы. Name является именем аргумента и Value - соответствующее значение. Name должен отображаться внутри кавычек. Можно указать несколько аргументов пары имен и значений в любом порядке как Name1,Value1,...,NameN,ValueN.

Пример:

[Price,StrikeOut] = optByHestonFFT(Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,V0,ThetaV,Kappa,SigmaV,RhoSV,'Basis',7)

`'Basis'` - Дневная основа прибора
`0` (по умолчанию) | числовые значения: `0`,`1`, `2`, `3`, `4`, `6`, `7`, `8`, `9`, `10`, `11`, `12`, `13`

Количество дней прибора, указанное как пара, разделенная запятыми, состоящая из 'Basis' и скаляр, использующий поддерживаемое значение:

0 = факт/факт
1 = 30/360 (SIA)
2 = фактически/360
3 = факт/365
4 = 30/360 (PSA)
5 = 30/360 (ISDA)
6 = 30/360 (европейский)
7 = факт/365 (японский)
8 = факт/факт (ICMA)
9 = факт/360 (ICMA)
10 = факт/365 (ICMA)
11 = 30/360E (ICMA)
12 = факт/365 (ISDA)
13 = BUS/252

Дополнительные сведения см. в разделе Базис.

Типы данных: double

`'DividendYield'` - Постоянно увеличиваемая базовая доходность активов
`0` (по умолчанию) | числовые

Постоянно смешанная базовая доходность активов, указанная как пара, разделенная запятыми, состоящая из 'DividendYield' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`'VolRiskPremium'` - Премия за риск волатильности
`0` (по умолчанию) | числовые

Премия за риск волатильности, указанная как пара, разделенная запятыми, состоящая из 'VolRiskPremium' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`'LittleTrap'` - Флаг, обозначающий состав ловушки Little Heston
`true` (по умолчанию) | логический со значениями `true` или `false`

Флаг, обозначающий состав Little Heston Trap по Albrecher et al., указанный как пара, разделенная запятыми, состоящая из: 'LittleTrap' и логическое:

true - Использовать композицию Albrecher et al.
false - Использовать оригинальную формацию Хестона.

Типы данных: logical

`'NumFFT'` - Количество точек сетки в переменной функции признака
`4096` (по умолчанию) | числовые

Количество точек сетки в переменной характеристической функции и в каждом столбце сетки log-strike, указанной как разделенная запятыми пара, состоящая из 'NumFFT' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`'CharacteristicFcnStep'` - Переменный шаг сетки характеристической функции
`0.01` (по умолчанию) | числовые

Переменная шаг сетки характеристической функции, указанная как разделенная запятыми пара, состоящая из 'CharacteristicFcnStep' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`'LogStrikeStep'` - Интервал между решетками каротажа
`2*pi/NumFFT/CharacteristicFcnStep` (по умолчанию) | числовые

Интервал сетки log-strike, указанный как разделенная запятыми пара, состоящая из 'LogStrikeStep' и скалярное числовое значение.

Примечание

Если (LogStrikeStep*CharacteristicFcnStepявляется 2*pi/NumFFT, используется БПФ. В противном случае используется FRFT.

Типы данных: double

`'DampingFactor'` - Коэффициент демпфирования для состава Carr-Madan
`1.5` (по умолчанию) | числовые

Коэффициент демпфирования для состава Карра-Мадана, определяемый как пара, разделенная запятыми, состоящая из 'DampingFactor' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`'Quadrature'` - Тип квадратуры
`"simpson"` (по умолчанию) | символьный вектор со значениями:`'simpson'` или `'trapezoidal'` | строковый массив со значениями: `"simpson"` или `"trapezoidal"`

Тип квадратуры, определяемый как разделенная запятыми пара, состоящая из 'Quadrature' и односимвольный вектор или строковый массив со значением 'simpson' или 'trapezoidal'.

Типы данных: char | string

`'ExpandOutput'` - Флажок для расширения выходных данных
`false` (выходы: `NINST`около-`1` векторы) (по умолчанию) | логический со значением `true` или `false`

Флаг для расширения выходных данных, указанный как разделенная запятыми пара, состоящая из 'ExpandOutput' и логическое:

true - если true, выходы: NRowsоколо- NColumns матрицы. NRows - количество ударов для каждого столбца, которое определяется Strike вход. Например, Strike может быть NRowsоколо-1 вектор или NRowsоколо-NColumns матрица. Если Strike пуст, NRows равно NumFFT. NColumns определяется размерами AssetPrice, Settle, Maturity, и OptSpec, которые все должны быть скалярными или NColumnsоколо-1 векторы.
false - если false, выходы: NINSTоколо-1 векторы. Кроме того, входные данные Strike, AssetPrice, Settle, Maturity, и OptSpec все должны быть скалярными или NINSTоколо-1 векторы.

Типы данных: logical

Выходные аргументы

свернуть все

`Price` - Цены опционов
числовой

Цены опционов, возвращенные как NINSTоколо-1, или NRowsоколо-NColumns, в зависимости от ExpandOutput.

`StrikeOut` - Удары, соответствующие `Price`
числовой

Удары, соответствующие Price, возвращено как NINSTоколо-1, или NRowsоколо-NColumns, в зависимости от ExpandOutput.

Подробнее

свернуть все

Вариант ванили

Вариант ванили - это категория вариантов, включающая только самые стандартные компоненты.

Вариант ванили имеет срок годности и простую цену страйка. Варианты в американском и европейском стиле классифицируются как варианты ванили.

Окупаемость опциона на ваниль выглядит следующим образом:

Для вызова: $\max (St - K$ , 0)
Для put: $\max (K - St$ , 0)

где:

St - цена базового актива в момент времени t.

K - цена удара.

Дополнительные сведения см. в разделе Параметр ванили.

Модель стохастической волатильности Heston

Модель Хестона является расширением модели Блэка-Шоулза, где волатильность (квадратный корень дисперсии) больше не считается постоянной, и теперь дисперсия следует стохастическому (CIR) процессу. Этот процесс позволяет моделировать предполагаемые улыбки волатильности, наблюдаемые на рынке.

Стохастическое дифференциальное уравнение:

$\begin{array}{l} _{dSt} = (r -_{} q) \sqrt{_{}}_{Stdt} +_{} \\ _{}_{vtStdWtdvt} =_{} \sqrt{_{}}_{}^{} \\ _{}_{}^{} \end{array}$

где

r - непрерывная безрисковая ставка.

q - непрерывный дивидендный выход.

St - цена актива в момент времени t.

vt - отклонение цены актива в момент времени t

v0 - начальное отклонение цены основного средства при t = 0 для (v0 > 0).

λ - долгосрочный уровень дисперсии для (start> 0).

δ - средняя скорость реверсирования для дисперсии для (start> 0).

startv - летучесть дисперсии для (startv > 0).

p - корреляция между процессами Вайнера Wt и Wvt для (-1 ≤ p ≤ 1).

Характеристическая функция $_{_{fHestonj}} для$ j = 1 (мера цены актива) и j = 2 (нейтральная к риску мера):

$\begin{array}{l} _{_{fHestonj}} (ϕ) {=exp}_{}_{}_{}_{} \\ _{} (Cj+Djv0+iϕlnSt) CJ = \frac{(r−q)}{_{}^{}}_{} iϕτ +κθσv2 [_{} (_{} bj−pσviϕ + ди-джей \frac{)_{}^{_{τ−2ln}}}{_{}} \\ _{} \frac{_{} {(1−gjedjτ1−gj)}_{}]_{}}{_{}^{}} \frac{{Dj=bj−pσviϕ}^{+_{}}}{{djσv2}_{}^{_{}}} \\ _{} \frac{_{}_{} (1−edjτ1−gjedjτ)_{}}{_{}_{} gj=bj-pσviϕ +_{}} \\ _{} \sqrt{{_{}_{}}^{djbj−pσviϕ−djdj} =_{}^{}_{} {(bj−pσviϕ)}^{}} \\ 2−σv2 (2ujiϕ−ϕ2) \\ _{} \frac{}{, где}_{} для \frac{}{}_{}_{j=1,2:u1=12,} u2 =−12,_{}_{}_{} \end{array}$ b1 =κ +λVolRisk−pσv, b2 =κ +λVolRisk

где

start- переменная характеристической функции.

ƛVolRisk - премия за риск волатильности.

start- время до наступления зрелости (start= T - t).

i - единичное мнимое число (i2 = -1).

Определения для Cj и Dj в «The Little Heston Trap» Альбрехера и др. (2007) являются:

$\begin{array}{l} _{CJ} = (r−q) \frac{}{_{}^{}} iϕτ +κθσv2 [_{}_{}_{} (bj−pσviϕ−dj) \frac{{τ−2ln}_{}^{_{}}}{_{}} \\ \frac{{(1−εje−djτ1−εj)}_{}]_{}_{}}{_{}^{}} \frac{^{{Dj=bj−pσviϕ−djσv2}_{}}}{_{}^{_{}}} \\ _{} \frac{_{} (1−e−djτ1−εje−djτ)_{}_{}}{_{}_{}_{}} \end{array}$ εj=bj−pσviϕ−djbj−pσviϕ + ди-джей

Формулировка Карр-Мадан

Формулировка Карра и Мадана (1999) является популярной модифицированной реализацией структуры Хестона (1993).

Вместо того, чтобы вычислять вероятности P1 и P2 как промежуточные шаги, Карр и Мадан разработали альтернативное выражение, так что принятие его обратного преобразования Фурье дает цену опциона непосредственно.

$\begin{array}{l} Вызов (k) \frac{^{}}{}_{}^{}^{} =e−αkπ∫0∞Re[e−iukψ (u) \\ ] dustart(\frac{^{u)}_{=} e - rstartf2 (start= (u}{^{} - (α^{} + 1) i)} \\ ) α2 + α - u2 +^{iu (} {2α}_{} +^{1)} \end{array}$ Пут (K) = вызов (K) + Ke − r

где

start- непрерывная безрисковая ставка.

q - непрерывный дивидендный выход.

St - цена актива в момент времени t.

start- время до зрелости (start= T-t).

Call (K) - цена вызова при ударе K.

Пут (К) - цена пут при ударе К

i - единичное воображаемое число (i2 = -1)

start- переменная характеристической функции.

α - коэффициент демпфирования.

u - это переменная характеристической функции для интегрирования, где start= = (u - (α + 1) i).

f2 (start) является характеристической функцией для _P2.

P2 - вероятность St > K в рамках нейтральной по риску меры для модели.

Чтобы применить FFT или FRFT к этой формулировке, переменная характеристической функции для интегрирования u дискретизируется в NumFFT(N) точек с размером шага CharacteristicFcnStep (Δu), и логарифмический удар k дискретизируется в N точек с размером шага LogStrikeStep(Δk).

Дискретизированная переменная характеристической функции для интегрирования uj (для j = 1,2,3,..., N) имеет минимальное значение 0 и максимальное значение (N-1) (Δu) и аппроксимирует диапазон непрерывного интегрирования от 0 до бесконечности.

Дискретизированная логарифмическая решетка, kn (для n = 1, 2, 3, N) приблизительно центрирована вокругln(St), с минимальным значением

$\ln (_{} St) \frac{}{−}$ N2Δk

и максимальное значение, равное

$\ln (_{} St) \frac{+}{} (N2 -$ 1) Δk

Где минимально допустимый удар

$_{} Штексп (\frac{-}{}$ N2Δk)

и максимально допустимый удар

$_{} Stexp [\frac{(}{} N2 - 1)$ Δk]

В результате дискретизации выражение для опции вызова становится

$Вызов (_{} kn) \frac{^{_{}}}{}_{}^{}^{=Δue−αknπ∑j=1NRe[e−iΔkΔu (j - 1)^{(n_{}} - \frac{1)}{} eiuj_{[}} NΔk2_{-} \ln_{}$ (St)] (uj)] wj

где

Δu - размер шага переменной дискретизированной характеристической функции для интегрирования.

Δk - размер шага дискретизированного логарифмического удара.

N - количество точек БПФ или БПФ.

wj - веса квадратуры, используемые для аппроксимации интеграла.

FFT используется для оценки вышеуказанного выражения, если Δk и Δu подвержены следующему ограничению:

$ΔkΔu = \frac{(}{}$ 2πN)

в противном случае функции используют метод FRFT, описанный в Chourdakis (2005).

Ссылки

[1] Альбрехер, Х., Майер, П., Шоутенс, В. и Тистаерт, Дж. «Маленькая ловушка Хестона». Рабочий документ, Линц и Грацский технологический университет, К. У. Левен, ING Financial Markets, 2006.

[2] Карр, П. и Д. Б. Мадан. «Оценка опциона с использованием быстрого преобразования Фурье». Журнал вычислительных финансов. Том 2. № 4. 1999.

[3] Чурдакис, К. «Опционное ценообразование с использованием дробного БПФ». Журнал вычислительных финансов. 2005.

[4] Хестон, С. Л. «Решение в закрытой форме для опционов со стохастической волатильностью с приложениями к облигациям и валютным опционам». Обзор финансовых исследований. Том 6. № 2. 1993.

См. также

Темы

Представлен в R2018a

Документация

optByHestonFFT

Синтаксис

Описание

Примеры

Рабочий процесс печати поверхности цены опциона с использованием модели Heston

Входные аргументы

Rate - Постоянно усложняемая безрисковая процентная ставка десятичное число

AssetPrice - Текущая базовая цена актива числовой

Settle - Дата расчета опциона серийный номер даты | вектор символов даты | datetime | строковый массив

Maturity - Дата погашения опциона серийный номер даты | вектор символов даты | datetime | строковый массив

OptSpec - Определение опциона массив ячеек символьного вектора со значениями 'call' или 'put' | строковый массив со значениями "call" или "put"

Strike - Цена страйка опциона числовой

V0 - Первоначальное отклонение базового актива числовой

ThetaV - Долгосрочное отклонение базового актива числовой

Kappa - Средняя скорость пересмотра для отклонения базового актива числовой

SigmaV - Волатильность отклонения базового актива числовой

RhoSV - Корреляция между процессами Weiner для базового актива и его отклонением числовой

Аргументы пары «имя-значение»

'Basis' - Дневная основа прибора 0 (по умолчанию) | числовые значения: 0,1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

'DividendYield' - Постоянно увеличиваемая базовая доходность активов 0 (по умолчанию) | числовые

'VolRiskPremium' - Премия за риск волатильности 0 (по умолчанию) | числовые

'LittleTrap' - Флаг, обозначающий состав ловушки Little Heston true (по умолчанию) | логический со значениями true или false

'NumFFT' - Количество точек сетки в переменной функции признака 4096 (по умолчанию) | числовые

'CharacteristicFcnStep' - Переменный шаг сетки характеристической функции 0.01 (по умолчанию) | числовые

'LogStrikeStep' - Интервал между решетками каротажа 2*pi/NumFFT/CharacteristicFcnStep (по умолчанию) | числовые

'DampingFactor' - Коэффициент демпфирования для состава Carr-Madan 1.5 (по умолчанию) | числовые

'Quadrature' - Тип квадратуры "simpson" (по умолчанию) | символьный вектор со значениями:'simpson' или 'trapezoidal' | строковый массив со значениями: "simpson" или "trapezoidal"

'ExpandOutput' - Флажок для расширения выходных данных false (выходы: NINSTоколо-1 векторы) (по умолчанию) | логический со значением true или false

Выходные аргументы

Price - Цены опционов числовой

StrikeOut - Удары, соответствующие Price числовой

Подробнее

Вариант ванили

Модель стохастической волатильности Heston

Формулировка Карр-Мадан

Ссылки

См. также

Темы

Документация по инструментам для финансовых инструментов

Поддержка

`Rate` - Постоянно усложняемая безрисковая процентная ставка
десятичное число

`AssetPrice` - Текущая базовая цена актива
числовой

`Settle` - Дата расчета опциона
серийный номер даты | вектор символов даты | datetime | строковый массив

`Maturity` - Дата погашения опциона
серийный номер даты | вектор символов даты | datetime | строковый массив

`OptSpec` - Определение опциона
массив ячеек символьного вектора со значениями `'call'` или `'put'` | строковый массив со значениями `"call"` или `"put"`

`Strike` - Цена страйка опциона
числовой

`V0` - Первоначальное отклонение базового актива
числовой

`ThetaV` - Долгосрочное отклонение базового актива
числовой

`Kappa` - Средняя скорость пересмотра для отклонения базового актива
числовой

`SigmaV` - Волатильность отклонения базового актива
числовой

`RhoSV` - Корреляция между процессами Weiner для базового актива и его отклонением
числовой

`'Basis'` - Дневная основа прибора
`0` (по умолчанию) | числовые значения: `0`,`1`, `2`, `3`, `4`, `6`, `7`, `8`, `9`, `10`, `11`, `12`, `13`

`'DividendYield'` - Постоянно увеличиваемая базовая доходность активов
`0` (по умолчанию) | числовые

`'VolRiskPremium'` - Премия за риск волатильности
`0` (по умолчанию) | числовые

`'LittleTrap'` - Флаг, обозначающий состав ловушки Little Heston
`true` (по умолчанию) | логический со значениями `true` или `false`

`'NumFFT'` - Количество точек сетки в переменной функции признака
`4096` (по умолчанию) | числовые

`'CharacteristicFcnStep'` - Переменный шаг сетки характеристической функции
`0.01` (по умолчанию) | числовые

`'LogStrikeStep'` - Интервал между решетками каротажа
`2*pi/NumFFT/CharacteristicFcnStep` (по умолчанию) | числовые

`'DampingFactor'` - Коэффициент демпфирования для состава Carr-Madan
`1.5` (по умолчанию) | числовые

`'Quadrature'` - Тип квадратуры
`"simpson"` (по умолчанию) | символьный вектор со значениями:`'simpson'` или `'trapezoidal'` | строковый массив со значениями: `"simpson"` или `"trapezoidal"`

`'ExpandOutput'` - Флажок для расширения выходных данных
`false` (выходы: `NINST`около-`1` векторы) (по умолчанию) | логический со значением `true` или `false`

`Price` - Цены опционов
числовой

`StrikeOut` - Удары, соответствующие `Price`
числовой