В этом примере показано, как оценить свопцион с использованием модели SABR. Во-первых, поверхность волатильности свопциона строится из волатильности рынка. Это выполняется путем калибровки параметров модели SABR отдельно для каждого срока свопциона. Затем цена свопциона рассчитывается с использованием подразумеваемой волатильности черного на поверхности в качестве входных данных для swaptionbyblk функция.
Загрузка рынка подразумевала данные волатильности черного для свопционов.
Settle = '12-Jun-2013'; ExerciseDates = {'12-Sep-2013';'12-Jun-2014';'12-Jun-2015';... '12-Jun-2016';'12-Jun-2017';'12-Jun-2018';'12-Jun-2020';... '12-Jun-2023'}; YearsToExercise = yearfrac(Settle, ExerciseDates, 1); NumMaturities = length(YearsToExercise); MarketVolatilities = [ ... 57.6 53.7 49.4 45.6 44.1 41.1 35.2 32.0 46.6 46.9 44.8 41.6 39.8 37.4 33.4 31.0 35.9 39.3 39.6 37.9 37.2 34.7 30.5 28.9 34.1 36.5 37.8 36.6 35.0 31.9 28.1 26.6 41.0 41.3 39.5 37.8 36.0 32.6 29.0 26.0 45.8 43.4 41.9 39.2 36.9 33.2 29.6 26.3 50.3 46.9 44.0 40.0 37.5 33.8 30.2 27.3]/100; MarketStrikes = [ ... 1.00 1.25 1.68 2.00 2.26 2.41 2.58 2.62; 1.50 1.75 2.18 2.50 2.76 2.91 3.08 3.12; 2.00 2.25 2.68 3.00 3.26 3.41 3.58 3.62; 2.50 2.75 3.18 3.50 3.76 3.91 4.08 4.12; 3.00 3.25 3.68 4.00 4.26 4.41 4.58 4.62; 3.50 3.75 4.18 4.50 4.76 4.91 5.08 5.12; 4.00 4.25 4.68 5.00 5.26 5.41 5.58 5.62]/100; CurrentForwardValues = MarketStrikes(4,:)
CurrentForwardValues = 1×8
0.0250 0.0275 0.0318 0.0350 0.0376 0.0391 0.0408 0.0412
ATMVolatilities = MarketVolatilities(4,:)
ATMVolatilities = 1×8
0.3410 0.3650 0.3780 0.3660 0.3500 0.3190 0.2810 0.2660
Текущие базовые форвардные ставки и соответствующие волатильности по отношению к деньгам по восьми срокам свопциона представлены в четвертых строках двух матриц.
Использование модели, реализованной в функции blackvolbysabrстатическая модель SABR, где предполагается, что параметры модели постоянны по времени, параметры калибруются отдельно для каждого срока погашения свопциона (годы для упражнения) в for цикл. Чтобы лучше представлять волатильность рынка в деньгах, Alpha значения параметров подразумеваются волатильностью рыночных денежных средств (см. «Метод 2» для калибровки модели SABR).
Определение заранее определенного Betaкалибровка параметров модели SABR для каждого срока погашения свопциона и отображение калиброванных параметров в таблице.
Beta = 0.5; Betas = repmat(Beta, NumMaturities, 1); Alphas = zeros(NumMaturities, 1); Rhos = zeros(NumMaturities, 1); Nus = zeros(NumMaturities, 1); options = optimoptions('lsqnonlin','Display','none'); for k = 1:NumMaturities % This function solves the SABR at-the-money volatility equation as a % polynomial of Alpha alpharoots = @(Rho,Nu) roots([... (1 - Beta)^2*YearsToExercise(k)/24/CurrentForwardValues(k)^(2 - 2*Beta) ... Rho*Beta*Nu*YearsToExercise(k)/4/CurrentForwardValues(k)^(1 - Beta) ... (1 + (2 - 3*Rho^2)*Nu^2*YearsToExercise(k)/24) ... -ATMVolatilities(k)*CurrentForwardValues(k)^(1 - Beta)]); % This function converts at-the-money volatility into Alpha by picking the % smallest positive real root atmVol2SabrAlpha = @(Rho,Nu) min(real(arrayfun(@(x) ... x*(x>0) + realmax*(x<0 || abs(imag(x))>1e-6), alpharoots(Rho,Nu)))); % Fit Rho and Nu (while converting at-the-money volatility into Alpha) objFun = @(X) MarketVolatilities(:,k) - ... blackvolbysabr(atmVol2SabrAlpha(X(1), X(2)), ... Beta, X(1), X(2), Settle, ExerciseDates(k), CurrentForwardValues(k), ... MarketStrikes(:,k)); X = lsqnonlin(objFun, [0 0.5], [-1 0], [1 Inf], options); Rho = X(1); Nu = X(2); % Get final Alpha from the calibrated parameters Alpha = atmVol2SabrAlpha(Rho, Nu); Alphas(k) = Alpha; Rhos(k) = Rho; Nus(k) = Nu; end CalibratedPrameters = array2table([Alphas Betas Rhos Nus],... 'VariableNames',{'Alpha' 'Beta' 'Rho' 'Nu'},... 'RowNames',{'3M into 10Y';'1Y into 10Y';... '2Y into 10Y';'3Y into 10Y';'4Y into 10Y';... '5Y into 10Y';'7Y into 10Y';'10Y into 10Y'})
CalibratedPrameters=8×4 table
Alpha Beta Rho Nu
________ ____ ________ _______
3M into 10Y 0.051947 0.5 0.39572 1.4146
1Y into 10Y 0.054697 0.5 0.2955 1.1257
2Y into 10Y 0.058433 0.5 0.24175 0.93463
3Y into 10Y 0.058484 0.5 0.20568 0.79647
4Y into 10Y 0.056054 0.5 0.13685 0.76993
5Y into 10Y 0.051072 0.5 0.060285 0.73595
7Y into 10Y 0.04475 0.5 0.083385 0.66341
10Y into 10Y 0.044548 0.5 0.02261 0.49487
Используйте калиброванную модель для вычисления новых волатильностей при любом значении страйка, чтобы создать гладкую улыбку для данного срока. Это может повторяться для каждого срока для формирования поверхности волатильности.
Вычислите волатильность с использованием калиброванных моделей для каждого срока погашения и постройте график поверхности волатильности.
PlottingStrikes = (0.95:0.1:5.8)'/100; ComputedVols = zeros(length(PlottingStrikes), NumMaturities); for k = 1:NumMaturities ComputedVols(:,k) = blackvolbysabr(Alphas(k), Betas(k), Rhos(k), Nus(k), Settle, ... ExerciseDates(k), CurrentForwardValues(k), PlottingStrikes); end figure; surf(YearsToExercise, PlottingStrikes, ComputedVols); xlim([0 10]); ylim([0.0095 0.06]); zlim([0.2 0.8]); view(113,32); set(gca, 'Position', [0.13 0.11 0.775 0.815], ... 'PlotBoxAspectRatioMode', 'manual'); xlabel('Years to exercise', 'Fontweight', 'bold'); ylabel('Strike', 'Fontweight', 'bold'); zlabel('Implied Black volatility', 'Fontweight', 'bold');
Обратите внимание, что на этой поверхности волатильности улыбки, как правило, становятся более плоскими для более длительных сроков свопциона (годы для упражнений). Это согласуется с Nu значения параметров, имеющие тенденцию к уменьшению со сроком погашения свопциона, как показано ранее в таблице для CalibratedPrameters.
swaptionbyblk для оценки свопциона.Используйте поверхность волатильности, чтобы оценить свопцион, который созревает через пять лет. Определение свопциона (для 10-летнего свопа), срок погашения которого составляет пять лет, и использование структуры срока процентной ставки во время свопциона Settle дата для определения RateSpec. Используйте RateSpec для вычисления текущей скорости прямого свопа с помощью swapbyzero функция. Вычислите волатильность черного для этого свопциона, подразумеваемую SABR, с использованием blackvolbysabr (и она отмечена красной стрелкой на следующем рисунке). Цена свопциона с использованием SABR подразумевала волатильность черного в качестве вклада в swaptionbyblk функция.
% Define the swaption SwaptionSettle = '12-Jun-2013'; SwaptionExerciseDate = '12-Jun-2018'; SwapMaturity = '12-Jun-2028'; Reset = 1; OptSpec = 'call'; Strike = 0.0263; % Define RateSpec ValuationDate = '12-Jun-2013'; EndDates = {'12-Jul-2013';'12-Sep-2013';'12-Dec-2013';'12-Jun-2014';... '12-Jun-2015';'12-Jun-2016';'12-Jun-2017';'12-Jun-2018';... '12-Jun-2019';'12-Jun-2020';'12-Jun-2021';'12-Jun-2022';... '12-Jun-2023';'12-Jun-2025';'12-Jun-2028';'12-Jun-2033'}; Rates = [0.2 0.3 0.4 0.7 0.5 0.7 1.0 1.4 1.7 1.9 ... 2.1 2.3 2.5 2.8 3.1 3.3]'/100; Compounding = 1; RateSpec = intenvset('ValuationDate', ValuationDate, 'StartDates', ValuationDate, ... 'EndDates', EndDates, 'Rates', Rates, 'Compounding', Compounding)
RateSpec = struct with fields:
FinObj: 'RateSpec'
Compounding: 1
Disc: [16x1 double]
Rates: [16x1 double]
EndTimes: [16x1 double]
StartTimes: [16x1 double]
EndDates: [16x1 double]
StartDates: 735397
ValuationDate: 735397
Basis: 0
EndMonthRule: 1
% Use swapbyzero LegRate = [NaN 0]; % To compute the forward swap rate, set the coupon rate to NaN. [~, CurrentForwardSwapRate] = swapbyzero(RateSpec, LegRate, SwaptionSettle, SwapMaturity,... 'StartDate', SwaptionExerciseDate); % Use blackvolbysabr SABRBlackVolatility = blackvolbysabr(Alphas(6), Betas(6), Rhos(6), Nus(6), SwaptionSettle, ... SwaptionExerciseDate, CurrentForwardSwapRate, Strike)
SABRBlackVolatility = 0.3932
text (YearsToExercise(6), Strike, SABRBlackVolatility, '\leftarrow',... 'Color', 'r', 'FontWeight', 'bold', 'FontSize', 22);
% Use swaptionbyblk Price = swaptionbyblk(RateSpec, OptSpec, Strike, SwaptionSettle, SwaptionExerciseDate, ... SwapMaturity, SABRBlackVolatility, 'Reset', Reset)
Price = 14.2403
[1] Хаган, П. С., Кумар, Д., Лесневски, А. С. и Вудворд, Д. Э., «Управление риском улыбки», журнал Wilmott, 2002.
[2] West, G., «Калибровка модели SABR на неликвидных рынках», Applied Mathematical Finance, 12 (4), pp. 371-385, 2004 .
blackvolbysabr | swapbyzero | swaptionbyblk