Дифференциальное уравнение в частных производных Toolbox™ обеспечивает refinemesh функция для глобального, равномерного уточнения сетки для 2-D геометрий. Он делит каждый треугольник на четыре похожих треугольника, создавая новые углы на средних сторонах с поправкой на криволинейные границы. Точность численного решения можно оценить путем сравнения результатов последовательности последовательно очищенных сеток. Если раствор достаточно гладкий, более точные результаты могут быть получены путем экстраполяции.

Решения уравнений часто имеют геометрические особенности, такие как локализованные сильные градиенты. Примером инженерной важности с точки зрения эластичности является концентрация напряжений, возникающая в входящих углах, таких как L-образная мембрана MATLAB. В таких случаях более эффективным является селективное уточнение сетки. Выбор, основанный на оценках ошибок в вычисленных решениях, называется адаптивным уточнением сетки.

Адаптивное уточнение создает последовательность решений на последовательно более тонких сетках, на каждом этапе выбирая и уточняя те элементы, которые, как считается, вносят наибольший вклад в ошибку. Процесс останавливается 34, когда превышено максимальное количество элементов, когда каждый треугольник вносит меньше заданного допуска или когда достигается предел итерации. Можно указать начальную сетку или разрешить adaptmesh звонить initmesh автоматически. Также можно выбрать параметры критериев выбора и прекращения. Тремя компонентами алгоритма являются функция индикатора ошибки (вычисляет оценку вклада ошибки элемента), средство уточнения сетки (выбирает и подразделяет элементы) и критерии завершения.

Адаптация представляет собой процесс обратной связи. Он легко применяется к большему кругу проблем, чем те, для которых его дизайн был адаптирован. Оценки, критерии выбора и т.д. должны быть оптимальными для предоставления наиболее точного решения с фиксированной стоимостью или наименьшими вычислительными усилиями для данной точности. Такие результаты были доказаны только для проблем модели, но, как правило, эвристика равнораспределения была найдена почти оптимальной. Размеры элементов должны быть выбраны таким образом, чтобы каждый элемент вносил одинаковый вклад в ошибку. Теория адаптивных схем использует априорные границы для решений в терминах исходной функции f. Для неэллиптических задач такие границы могут не существовать, в то время как схема уточнения ещё хорошо определена и работает.

Функция индикатора ошибки, используемая в программном обеспечении, представляет собой элементарную оценку вклада, основанную на [1] и [2]. Для уравнения Пуассона -Δu = f на, следующая оценка ошибки для КЭМ-решения _uh сохраняется в L2-norm $$\Vert \cdot$$‖:

где h = h (x) - размер локальной сетки, и

Раскосная величина представляет собой скачок в нормальной производной v через кромку, hstart- длину кромки, и сумма проходит через _Ei, множество всех внутренних кромок триангуляции. Коэффициенты α и β не зависят от триангуляции. Эта граница превращается в элементарную функцию E (K) индикатора ошибки для элемента K путем суммирования вкладов от его краев.

Общая форма функции индикатора ошибки для эллиптического уравнения

является

где $${}_{\mathrm{nstart}}$$- единичная нормаль кромки,, а раскосый член - скачок потока через кромку элемента. Норму L2 вычисляют по элементу K. pdejmps функция вычисляет этот индикатор ошибки.

Уточнение сетки панели инструментов дифференциальных уравнений в частных производных направлено на решение эллиптических задач. Из соображений точности и неправильного кондиционирования такие проблемы требуют, чтобы элементы не слишком сильно отклонялись от равносторонних. Таким образом, даже при по существу одномерных элементах решения, таких как граничные слои, технология уточнения должна гарантировать треугольники разумной формы.

Когда элемент уточняется, на его средних сторонах появляются новые узлы, и если соседний треугольник не уточняется подобным образом, то считается, что он имеет висячие узлы. Конечная триангуляция не должна иметь висячих узлов, и они удаляются путем разделения соседних треугольников. Чтобы избежать дальнейшего ухудшения качества треугольника в последующих поколениях, в [3] используется схема «бисекции самого длинного края», при которой самая длинная сторона треугольника всегда разделяется, всякий раз, когда какая-либо из сторон имеет висячие узлы. Это гарантирует, что ни один угол никогда не меньше половины наименьшего угла исходной триангуляции.

Существует два критерия выбора. Один, pdeadworst, уточняет все элементы со значением индикатора ошибки, превышающим половину худшего из всех элементов. Другой, pdeadgscуточнение всех элементов со значением индикатора, превышающим заданный безразмерный допуск. Сравнение с допуском правильно масштабируется в зависимости от домена, размера раствора и т.д.

Для гладких решений равномерное распределение ошибок может быть достигнуто с помощью pdeadgsc если максимальное количество элементов достаточно велико. pdeadworst адаптация завершается только при превышении максимального количества элементов или при достижении предела итерации. Этот режим является естественным, когда решение проявляет сингулярности. Индикатор ошибки элементов, расположенных рядом с сингулярностью, может никогда не исчезнуть, независимо от размера элемента, что делает невозможным равномерное распределение.