Основная идея заключается в использовании итераций Гаусса - Ньютона для решения нелинейных уравнений. Скажи, что пытаешься решить уравнение

В настройке КЭМ решается слабая форма r (u) = 0. Установить как обычно

где x представляет 2-D или точку 3-D. Затем умножьте уравнение на произвольную тестовую функцию, интегрируйте в области Λ и используйте формулу Грина и граничные условия для получения

которая должна быть сохранена для всех индексов i.

Остаточный вектор start( U) может быть легко вычислен как

где матрицы K, M, Q и векторы F и G формируются посредством сборки задачи

Предположим, что у вас есть предположение U ⁽ⁿ) решения. Если ^{U (}n) достаточно близко к точному решению, улучшенное приближение ^{U (n} + 1) получается решением линеаризованной задачи

где $$\alpha$$ - положительное число. (Не обязательно, чтобы (U)   = 0 имели решение, даже если (u)   = 0 имеет.) В этом случае итерация Гаусса - Ньютона имеет тенденцию быть минимизатором остатка, то есть решением _minU ‖ start( U$$)\mathrm{\Vert .}$$

Хорошо известно, что для достаточно малых $$\alpha$$

и

называется направлением спуска для $$\Vert start(U$$) ‖, $$где$$‖ ⋅ ‖ - L2-norm. Итерация

где $$\alpha$$ ≤ 1 выбирается как можно большим, так что шаг имеет разумный спуск.

Метод Гаусса-Ньютона является локальным, и сходимость гарантируется только тогда, когда U ⁽⁰) достаточно близко к решению. В общем, первое предположение может находиться вне области сходимости. Чтобы улучшить сходимость от плохих начальных догадок, реализуется стратегия демпфирования для выбора α, поиска линии Армийо-Гольдштейна. Он выбирает наибольший коэффициент демпфирования α из последовательности 1, 1/2, 1/4,.. таким образом, что следующее неравенство сохраняется:

что гарантирует снижение остаточной нормы не менее чем на 1 - $$$$α/2. На каждом этапе алгоритма поиска строки требуется оценка остаточного ($$U{}^{(}n){}_{+}$$αpn).

Важным моментом этой стратегии является то, что когда U ⁽ⁿ) приближается к решению, то $$$$α→1 и, таким образом, скорость сходимости увеличивается. Если существует решение, обеспечивающее (U) = 0, схема в конечном итоге восстанавливает квадратичную скорость сходимости стандартной итерации Ньютона.

С предшествующей проблемой тесно связан выбор начального приближения U ⁽⁰). По умолчанию решатель устанавливает ^{U (}0), а затем собирает матрицы КЭМ K и F и вычисляет

Затем затухающая итерация Гаусса-Ньютона начинается с U ⁽¹), что должно быть лучшим предположением, чем ^{U (}0). Если граничные условия не зависят от решения u, то ^U (1) удовлетворяет им, даже если ^U (0) не имеет. Кроме того, если уравнение является линейным, то U (1) является точным решением КЭМ и решатель не входит в цикл Гаусса-Ньютона.

Бывают ситуации, когда U ⁽⁰) = 0 не имеет смысла или сходимость невозможна .

В некоторых ситуациях вы уже можете иметь хорошее приближение, и нелинейный решатель может быть запущен с ним, избегая медленного режима сходимости. Эта идея используется в адаптивном генераторе сетки. Он вычисляет решение, $$\stackrel{U˜}{}$$ на сетке, оценивает ошибку и может уточнить некоторые треугольники. Интерполант $$\stackrel{U˜}{}$$ является очень хорошим начальным предположением для решения на очищенной сетке.

В целом точный якобиан

недоступен. Аппроксимация _Jn конечными различиями следующим образом является дорогостоящей, но осуществимой. i-й столбец _Jn может быть аппроксимирован

что подразумевает сборку матриц КЭМ для треугольников, содержащих точку сетки I. Очень простое приближение к _Jn, которое дает итерацию фиксированной точки, также возможно следующим образом. По существу, для данного U ⁽ⁿ) вычисляют КЭМ матрицы K и F и устанавливают

Это эквивалентно аппроксимации якобиана матрицей жесткости. Действительно, так как (U ⁽n)) = ^KU (n) - F, _ставя Jn = K выходов

Во многих случаях скорость сходимости является медленной, но стоимость каждой итерации является дешевой.

Дифференциальное уравнение в частных производных Toolbox™ нелинейный решатель также обеспечивает компромисс между двумя крайними значениями. Чтобы вычислить производную U→KU отображения, выполните следующие действия. Термин был опущен для ясности, но снова появляется в окончательном результате.

Первый интегральный член не более чем _Ki, j .

Второй член является «скошенным», т.е. замененным диагональной матрицей, которая содержит суммы строк. Поскольку _{Λ j} = 1, второе слагаемое аппроксимируется

который является ith компонентом K ^(c') U, где ^{K (}c') является матрицей жесткости, связанной с коэффициентом ∂c / ∂ u, а не c. То же рассуждение может быть применено к производной отображения U→MU. Производная отображения U→ -F точно

которая является массовой матрицей, связанной с коэффициентом ∂f/∂u. Таким образом, якобиан остаточного (U)

где дифференцирование по отношению к u, К и М обозначают матрицы жесткости и массы, а их индексы обозначают коэффициенты, относительно которых они собраны. При каждой итерации Гаусса - Ньютона нелинейный решатель собирает матрицы, соответствующие уравнениям

и затем производит приблизительный якобиан. Дифференциации коэффициентов делаются численно.

В общем задании эллиптических систем граничные условия добавляются к матрице жесткости для формирования полной линейной системы:

где коэффициенты $$\stackrel{K˜}{}$$ и $$\stackrel{F˜}{}$$ могут зависеть от