gram

Управляемость и наблюдаемость грамиана

Синтаксис

Wc = gram(sys,'c') Wc = gram(sys,'o') Wc = gram(___,opt)

Описание

Wc = gram(sys,'c') вычисляет управляемость Грамиана пространства состояний (ss) модель sys.

Wc = gram(sys,'o') вычисляет наблюдаемость Грамиан ss модели sys.

Wc = gram(___,opt) вычисляет ограниченные по времени или частоте грамианы. opt - набор опций, который задает интервалы времени или частоты для расчета. Создание opt использование gramOptions команда.

Можно использовать Грамианы для изучения свойств управляемости и наблюдаемости моделей пространства состояний и для снижения сложности модели [1]. Они имеют лучшие числовые свойства, чем матрицы управляемости и наблюдаемости, сформированные ctrb и obsv.

Учитывая модель пространства состояний в непрерывном времени

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x + D u \end{array}$

управляемость Грамиан определяется как

$W_{c} = \int_{0}^{\infty} e^{A τ} B B^{T} e^{A^{T} τ} d τ$

Управляемость Грамиана положительно определена тогда и только тогда, когда (A, B) управляема.

Наблюдаемость Грамиана определяется

$W_{o} = \int_{0}^{\infty} e^{A^{T} τ} C^{T} C e^{A τ} d τ$

Наблюдаемость Грамиана положительно определена тогда и только тогда, когда (A, C) наблюдаема.

Аналоги управляемости и наблюдаемости грамиана в дискретном времени

$\begin{matrix} W_{c} = \sum_{k = 0}^{\infty} A^{k} B B^{T} {(A^{T})}^{k}, & W_{o} = \end{matrix} \sum_{k = 0}^{\infty} {(A^{T})}^{k} C^{T} C A^{k}$

соответственно.

Используйте ограниченные по времени или частоте Грамианы, чтобы изучить управляемость или наблюдаемость состояний в определенных временных или частотных интервалах. Определение этих грамианов так же, как описано в [2].

Примеры

Вычисление ограниченной по частоте грамиана

Вычислите Грамиан управляемости следующей модели пространства состояний. Фокусируйте расчет на частотном интервале с наибольшей энергией.

sys = ss([-.1 -1;1 0],[1;0],[0 1],0);

Модель содержит пик в 1 рад/с. Использование gramOptions чтобы задать интервал вокруг этой частоты.

opt = gramOptions('FreqIntervals',[0.8 1.2]);
gc = gram(sys,'c',opt)

gc = 2×2

    4.2132   -0.0000
   -0.0000    4.2433

Ограничения

Матрица A должна быть стабильной (все собственные значения имеют отрицательную вещественную часть за непрерывное время и величину строго меньше единицы за дискретное время).

Алгоритмы

Управляемость Грамиана _Wc получается путем решения уравнения Ляпунова в непрерывном времени

$A W_{c} + W_{c} A^{T} + B B^{T} = 0$

или его аналог в дискретном времени

$A W_{c} A^{T} - W_{c} + B B^{T} = 0$

Точно так же наблюдаемость Грамиана _Wo решает уравнение Ляпунова

$A^{T} W_{o} + W_{o} A + C^{T} C = 0$

за непрерывное время и уравнение Ляпунова

$A^{T} W_{o} A - W_{o} + C^{T} C = 0$

в дискретном времени.

Расчетов ограниченных по времени и частоте Грамианов как описано в [2].

Ссылки

[1] Kailath, T., Линейные Системы, Prentice Hall, 1980.

[2] Gawronski, W. and J.N. Juang. «Снижение сложности модели в ограниченных временных и частотных Интервалах». Международный журнал системных наук. Том 21, № 2, 1990, стр. 349-376.

См. также

balreal | dlyap | gramOptions | hsvd | lyap

Представлено до R2006a

Документация