Конические сектора

В самой простой форме конический сектор является 2-D областью, разделенной двумя линиями, $$y=au$$ и $$y=bu$$.

Затененная область характеризуется неравенством $$(y-au)(y-bu)<0$$. В более общем случае любой такой сектор может быть параметризован как:

где $$Q$$ - симметричная неопределенная матрица 2x2 ($$Q$$ имеет одно положительное и одно отрицательное собственное значение). Мы звоним $$Q$$ матрица секторов. Эта концепция обобщается на более высокие размерности. В N-мерном пространстве конический сектор является множеством:

где $$Q$$ снова является симметричной неопределенной матрицей.

Границы сектора

Ограничения сектора являются ограничениями на поведение системы. Ограничения усиления и ограничения пассивности являются особыми случаями ограничений сектора. Если для всех ненулевых входных траекторий $$u(t)$$, траектория выхода $$z(t)=(Hu)(t)$$ линейной системы $$H(s)$$ удовлетворяет:

затем выходные траектории $$H$$ лежать в коническом секторе с матрицей $$Q$$. Выбор другого $$Q$$ матрицы накладывают различные условия на ответ системы. Для примера рассмотрим траектории $$y(t)=(Gu)(t)$$ и следующие значения:

Эти значения соответствуют секторным границам:

Эта секторная граница эквивалентна условию пассивности для $$G(s)$$:

Другими словами, пассивность является конкретным сектором, связанным с системой, определяемой:

Условие частотного диапазона

Потому что условие временной области должно храниться для всех $$T>0$$, выведение эквивалентного частотного диапазона, связанной взятиями небольшим вниманием и не всегда возможной. Позвольте:

быть (любым) разложением неопределенной матрицы $$Q$$ в его положительную и отрицательную части. Когда $$W_2^{T}H(s)$$ является квадратной и минимальной фазой (не имеет нестабильных нулей), условие временной области:

эквивалентно условию частотного диапазона:

Поэтому достаточно проверить неравенство сектора на реальные частоты. Использование разложения $$Q$$, это также эквивалентно:

Обратите внимание, что $$W_2^{T}H$$ является квадратным, когда $$Q$$ имеет столько отрицательных собственных значений, сколько входных каналов в $$H(s)$$. Если это условие не выполнено, уже недостаточно (в общем-то) просто посмотреть на реальные частоты. Обратите внимание, что если $$W_2^{T}H(s)$$ является квадратным, тогда это должна быть минимальная фаза для сектора, связанного с удержанием.

Эта характеристика частотного диапазона является базисом для sectorplot. В частности, sectorplot строит графики сингулярных значений $$(W_1^{T}H(j\omega ))(W_2^{T}H(j\omega ){)}^{-1}$$ как функцию частоты. Секторная граница удовлетворяется тогда и только тогда, когда самое большое сингулярное значение остается ниже 1. Кроме того, график содержит полезную информацию о полосах, где секторная граница удовлетворена или нарушена, и степени, в которой она удовлетворена или нарушена.

Например, исследуйте график сектора 2-выходной, 2-входной системы для конкретного сектора.

rng(4,'twister');
H = rss(3,4,2); 
Q = [-5.12   2.16  -2.04   2.17
      2.16  -1.22  -0.28  -1.11
     -2.04  -0.28  -3.35   0.00
      2.17  -1.11   0.00   0.18];
sectorplot(H,Q)

График показывает, что самое большое сингулярное значение $$(W_1^{T}H(j\omega ))(W_2^{T}H(j\omega ){)}^{-1}$$ превышает 1 ниже примерно 0,5 рад/с и узкой полосой около 3 рад/с. Поэтому H не удовлетворяет сектору, представленному Q.

Относительный индекс сектора

Мы можем распространить понятие относительного индекса пассивности на произвольные сектора. Давайте $$H(s)$$ быть системой LTI и позволить:

быть ортогональным разложением $$Q$$ в свою положительную и отрицательную части, как легко получается из разложения Шура $$Q$$. Относительный индекс сектора $$R$$, или R-индекс, определяется как наименьший $$r>0$$ таким образом для всех выходных траекторий $$z(t)=(Hu)(t)$$:

Потому что увеличение $$r$$ делает $$W_1^T{W}_1-r^2{W}_2^T{W}_2$$ более отрицательное, неравенство обычно удовлетворяется для $$r$$ достаточно большой. Однако существуют случаи, когда это никогда не может быть удовлетворено, в этом случае R-индекс является $$R=+\infty$$. Очевидно, что исходная секторная граница удовлетворяется тогда и только после $$R\le 1$$.

Чтобы понять геометрическую интерпретацию R-индекса, рассмотрим семейство конусов с матрицей $$Q(r)=W_1^T{W}_1-r^2{W}_2^T{W}_2$$. В 2D угол наклона конуса $$\theta$$ связана с $$r$$ около

(см. схему ниже). В более общем плане, $$\tan (\theta )$$ пропорционально $$R$$. Таким образом, задан конический сектор с матрицей $$Q$$, значение R-индекса $$R<1$$ означает, что мы можем уменьшить $$\tan (\theta )$$ (сузить конус) в множитель $$R$$ перед некоторой выходной траекторией $$H$$ покидает конический сектор. Точно так же, значение $$R>1$$ означает, что мы должны увеличить $$\tan (\theta )$$ (расширение конуса) в множитель $$R$$ для включения всех выходных траекторий $$H$$. Это явно делает R-индекс относительной мерой того, насколько хорошо реакция $$H$$ подходит для конкретного конического сектора.

В схеме,

и

Когда $$W_2^{T}H(s)$$ является квадратной и минимальной фазой, R-индекс также может быть охарактеризован в частотный диапазон как наименьший $$r>0$$ таким образом:

Используя элементарную алгебру, это приводит к:

Другими словами, R-индекс является пиковым усилением (стабильной) передаточной функции $$\Phi (s):=(W_1^{T}H(s))(W_2^{T}H(s){)}^{-1}$$, и сингулярные значения $$\Phi (jw)$$ можно рассматривать как «основные» R-индексы на каждой частоте. Это также объясняет, почему построение графика R-индекса по сравнению с частотой выглядит как график сингулярного значения (см sectorplot). Существует полная аналогия между относительным индексом сектора и усилением системы. Обратите внимание, однако, что эта аналогия выполняется только тогда, когда $$W_2^{T}H(s)$$ является квадратной и минимальной фазой.

Индекс направленного сектора

Точно так же мы можем распространить понятие индекса направленной пассивности на произвольные сектора. Задан конический сектор с матрицей $$Q$$, и направление $$\delta Q$$, индекс направленного сектора является самым большим $$\tau$$ таким образом для всех выходных траекторий $$z(t)=(Hu)(t)$$:

Индекс пассивности по направлению для системы $$G(s)$$ соответствует:

Индекс направленного сектора измеряет, насколько нам нужно деформировать сектор в направлении $$\delta Q$$ чтобы он плотно помещался вокруг выходных траекторий $$H$$. Секторная граница удовлетворяется тогда и только тогда, когда направленный индекс положительная.

Общие секторы

Существует много способов задать границы сектора. Далее мы рассматриваем обычно встречающиеся выражения и даем соответствующую систему $$H$$ и матрица секторов $$Q$$ для стандартной формы, используемой getSectorIndex и sectorplot:

Для простоты в этих описаниях используется обозначение:

и опустить $$\forall T>0$$ требование.

Пассивность

Пассивность является сектором, связанным с:

Ограничение усиления

Ограничение усиления $${\Vert G\Vert }_{\infty }<\gamma$$ является сектором, связанным:

Отношение расстояний

Рассмотрим «внутреннее» ограничение,

где $$c,r$$ являются скалярами и $$y(t)=(Gu)(t)$$. Это сектор, связанный:

Базовый конический сектор симметричен относительно $$y=cu$$. Точно так же «внешнее» ограничение,

является сектором, связанным:

Двойное неравенство

При работе со статическими нелинейностями обычно учитываются конические сектора вида

где $$y=\varphi (u)$$ - выход нелинейности. Хотя эти отношения сами по себе не связаны секторами, они явно подразумевают:

по всем траекториям ввода-вывода и для всех $$T>0$$. Это условие, в свою очередь, эквивалентно сектору, связанному:

Форма продукта

Обобщенные секторные границы вида:

соответствуют:

Как и прежде, статический сектор связан:

подразумевает интегральный сектор, связанный выше.

Рассеиватель QSR

Система $$y=Gu$$ является QSR-рассеивающим, если удовлетворяет:

Это сектор, связанный: