Пассивные системы

Линейная система $$G(s)$$ является пассивным, если все входные/выходные траектории $$y(t)=Gu(t)$$ удовлетворить:

где $$y^T(t)$$ обозначает транспонирование $$y(t)$$. Для физических систем интеграл обычно представляет энергию, поступающую в систему,. Таким образом, пассивные системы являются системами, которые только потребляют или рассеивают энергию. В результате пассивные системы по своей сути стабильны.

В частотный диапазон пассивность эквивалентна «положительному реальному» условию:

Для систем SISO это говорит о том, что $$Re(G(j\omega ))>0$$ на всех частотах, поэтому весь годограф Найквиста лежит в правой-половинной плоскости.

nyquist(tf([1 3 5],[5 6 1]))

Годограф Найквиста пассивной системы

Пассивные системы имеют следующие важные свойства для целей управления:

Поэтому при управлении пассивной системой с неизвестными или переменными характеристиками желательно использовать закон пассивной обратной связи, чтобы гарантировать стабильность замкнутого контура. Эта задача может быть затруднена, учитывая, что задержки и значительная задержка фазы разрушают пассивность.

Индексы пассивности по направлению

Для стабильности, знание, является ли система пассивной или нет, не рассказывает полной истории. Часто желательно знать, насколько он пассивен или не является пассивным. В сложение дефицит пассивности в объект может быть компенсирован избытком пассивности в контроллере, и наоборот. Поэтому важно измерить избыток или дефицит пассивности, и именно здесь вступают в действие индексы пассивности.

Существуют различные типы индексов с различными приложениями. Один класс индексов измеряет избыток или дефицит пассивности в конкретном направлении входного/выходного пространства. Для примера входа индекс пассивности определяется как самый большой $$\nu$$ таким образом:

для всех траекторий $$y(t)=Gu(t)$$ и $$T>0$$. Система G входит строго пассивно (ISP), когда $$\nu >0$$и имеет дефицит пассивности, когда $$\nu <0$$. Индекс пассивности входа также называется индексом входа feedforward пассивности (IFP), потому что он соответствует минимальному действию статического feedforward, необходимому для того, чтобы сделать систему пассивной.

В частотный диапазон индекс входа пассивности характеризуется:

где $${\lambda }_{\min }$$ обозначает наименьшее собственное значение. В случае SISO, $$\nu$$ - абсцисса самой левой точки на кривой Найквиста.

Точно так же выходной индекс пассивности определяется как самый большой $$\rho$$ таким образом:

для всех траекторий $$y(t)=Gu(t)$$ и $$T>0$$. Система G выводится строго пассивно (OSP), когда $$\rho >0$$и имеет дефицит пассивности, когда $$\rho <0$$. Индекс пассивности выхода также называется индексом пассивности выхода обратной связи (OFP), потому что он соответствует минимальному статическому действию обратной связи, необходимому для того, чтобы сделать систему пассивной.

В частотный диапазон выхода индекс пассивности минимально-фазовой системы $$G(s)$$ определяется:

В случае SISO, $$\rho$$ - абсцисса самой левой точки на кривой Найквиста, $$G^{-1}(s)$$.

Объединение этих двух понятий приводит к вводу-выводу индексу пассивности, который является самым большим $$\tau$$ таким образом:

Система с $$\tau >0$$ очень строго пассивно. В более общем плане, мы можем определить индекс в направлении $$\delta Q$$ как самый большой $$\tau$$ таким образом:

Входные, выходные и индексы пассивности ввода-вывода все соответствуют специальным выборам $$\delta Q$$ и в совокупности называются индексами пассивности по направлению. Можно использовать getPassiveIndex вычислить любой из этих индексов для линейных систем в параметрической или FRD форме. Можно также использовать passiveplot для построения графика входных, выходных индексов или индексов пассивности ввода-вывода как функции от частоты. Этот график дает представление о том, какие полосы частот имеют более слабую или более сильную пассивность.

Существует много результатов, количественно определяющих, как индексы входа и выхода пассивности распространяются через параллельные, последовательные или обратные соединения. Существуют также результаты, количественно определяющие превышение входа или выхода пассивности, необходимой для компенсации заданного дефицита пассивности в цикле обратной связи. Для получения дополнительной информации смотрите:

Относительный индекс пассивности

Положительное реальное условие пассивности:

эквивалентно малому условию усиления:

Поэтому мы можем использовать пиковое усиление $$(I-G)(I+G{)}^{-1}$$ как мера пассивности. В частности, позвольте

Тогда $$G$$ пассивен тогда и только тогда, когда $$R<1$$, и $$R>1$$ указывает на нехватку пассивности. Обратите внимание, что $$R$$ конечен тогда и только тогда, когда $$I+G$$ является минимальной фазой. Мы ссылаемся на $$R$$ как относительный индекс пассивности, или R-индекс. Во временном интервале R-индекс является наименьшим $$r>0$$ таким образом:

для всех траекторий $$y(t)=Gu(t)$$ и $$T>0$$. Когда $$I+G$$ является минимальной фазой, можно использовать passiveplot чтобы построить основные усиления $$(I-G(j\omega ))(I+G(j\omega ){)}^{-1}$$. Этот график полностью аналогичен графику сингулярного значения (см sigma), и показывает, как изменяется степень пассивности с частотой и направлением.

Следующий результат аналогичен теореме Малого Усиления для циклов обратной связи. Это дает простое условие по R-индексам для компенсации дефицита пассивности в одной системе избытком пассивности в другой.

Теорема Small-R: Let $$G_1(s)$$ и $$G_2(s)$$ быть двумя линейными системами с пассивными R-индексами $$R_1$$ и $$R_2$$, соответственно. Если $$R_1{R}_2<1$$, затем отрицательное соединение обратной связи $$G_1$$ и $$G_2$$ является стабильным.