Последовательное соединение пассивных систем

Рассмотрим взаимосвязь двух подсистем $$G_1$$ и $$G_2$$ последовательно. Взаимосвязанная система $$H$$ задается отображением от входа $$u$$ производить $$y_2$$.

В отличие от параллельных соединений и соединений с обратной связью, пассивность подсистем $$G_1$$ и $$G_2$$ не гарантирует пассивность для взаимосвязанной системы $$H$$. Примите за пример

Обе системы пассивны, как подтверждено

G1 = tf([5 3 1],[1,2,1]);
isPassive(G1)

ans = logical
   1

G2 = tf([1,1,5,.1],[1,2,3,4]);
isPassive(G2)

ans = logical
   1

Однако последовательное соединение $$G_1$$ и $$G_2$$ не пассивен:

H = G2*G1;
isPassive(H)

ans = logical
   0

Это подтверждается проверкой, что Годограф Найквиста $$G_2{G}_1$$ не является положительным реальным.

nyquist(H)

Индексы пассивности для последовательного соединения

В то время как последовательное соединение пассивных систем не является пассивным в целом, существует связь между индексами пассивности $$G_1$$ и $$G_2$$ и индексы пассивности $$H=G_2{G}_1$$. Давайте $${\nu }_1$$ и $${\nu }_2$$ обозначить входные индексы пассивности для $$G_1$$ и $$G_2$$, и пусть $${\rho }_1$$ и $${\rho }_2$$ обозначить выходные индексы пассивности. Если все эти индексы положительны, то входной индекс пассивности $$\nu$$ и индекс выхода пассивности $$\rho$$ для последовательного соединения $$H$$ удовлетворить

Другими словами, нехватка пассивности на входах или выходах $$H$$ не хуже, чем выражения правой стороны. Для получения дополнительной информации см. статью Arcak, M. and Sontag, E.D., «Диагональная устойчивость класса циклических систем и его связь с секретным критерием», Automatica, Vol 42, № 9, 2006, pp. 1531-1537. Проверьте эти нижние границы для примера выше.

% Output passivity index for G1
rho1 = getPassiveIndex(G1,'output');
% Output passivity index for G2
rho2 = getPassiveIndex(G2,'output');
% Input passivity index for H=G2*G1
nu = getPassiveIndex(H,'input')

nu = -1.2886

% Lower bound
-0.125/(rho1*rho2)

ans = -2.4194

Точно так же проверьте нижнюю границу для выхода индекса пассивности $$H$$.

% Input passivity index for G1
nu1 = getPassiveIndex(G1,'input');
% Input passivity index for G2
nu2 = getPassiveIndex(G2,'input');
% Output passivity index for H=G2*G1
rho = getPassiveIndex(H,'output')

rho = -0.6966

% Lower bound
-0.125/(nu1*nu2)

ans = -6.0000