Взаимодействие пассивных систем с обратной связью

Рассмотрим взаимосвязь двух подсистем $$G_1$$ и $$G_2$$ в обратной связи. Взаимосвязанная система $$H$$ отображает вход $$r$$ в выходы $$y_1$$.

Если обе системы $$G_1$$ и $$G_2$$ являются пассивными, тогда взаимосвязанная система $$H$$ гарантированно будет пассивным. Примите за пример

Обе системы пассивны, как подтверждено

G1 = tf([1,1,1],[1,1,4]); 
isPassive(G1)

ans = logical
   1

G2 = tf([1,2],[1,5]);
isPassive(G2)

ans = logical
   1

Поэтому взаимосвязанная система является пассивной.

H = feedback(G1,G2);
isPassive(H)

ans = logical
   1

Это подтверждается проверкой, что Годограф Найквиста $$H$$ положительно реально.

nyquist(H)

Индексы пассивности для взаимодействия с обратной связью

Существует связь между индексами пассивности $$G_1$$ и $$G_2$$ и индексы пассивности взаимосвязанной системы $$H$$. Давайте $${\nu }_1$$ и $${\nu }_2$$ обозначить входные индексы пассивности для $$G_1$$ и $$G_2$$, и пусть $${\rho }_1$$ и $${\rho }_2$$ обозначить выходные индексы пассивности. Если все эти индексы положительны, то входной индекс пассивности $$\nu$$ и индекс выхода пассивности $$\rho$$ для соединения с обратной связью $$H$$ удовлетворить

Другими словами, мы можем вывести некоторый минимальный уровень пассивности входа и вывода для системы с обратной связью $$H$$ из входа и выхода индексов пассивности $$G_1$$ и $$G_2$$. Для получения дополнительной информации смотрите документ Zhu, F. and Xia, M and Antsaklis, P.J., «Passivity analysis and passivation of feedback systems using passivity indices», American Control Conference, 2014, pp. 1833-1838. Проверьте нижнюю границу для входного индекса пассивности $$\nu$$.

% Input passivity index for G1
nu1 = getPassiveIndex(G1,'input');
% Output passivity index for G2
rho2 = getPassiveIndex(G2,'output');
% Input passivity index for H
nu = getPassiveIndex(H,'input')

nu = 0.1293

% Lower bound
nu1*rho2/(nu1+rho2)

ans = 7.1402e-11

Точно так же проверьте нижнюю границу для выхода индекса пассивности $$H$$.

% Output passivity index for G1
rho1 = getPassiveIndex(G1,'output');
% Input passivity index for G2
nu2 = getPassiveIndex(G2,'input');
% Output passivity index for H
rho = getPassiveIndex(H,'output')

rho = 0.4441

% Lower bound
rho1+nu2

ans = 0.4000