Реализовать пользовательские граничные условия можно с помощью csape функция. Предположим, что вы хотите применить следующее условие в самой левой конечной точке, $\mathit{e}=$x(1)

для заданных скаляров $\mathit{a}$,$\mathit{b}$, и $\mathit{c}$. Можно вычислить кубическую интерполяцию позвоночника $\mathit{s}$ как сумму $$s_1$$ (кубическая интерполяция позвоночника данных с использованием конечных условий по умолчанию) и $$s_0$$ (кубическая интерполяция нулевых данных с использованием некоторых нетривиальных условий конца):

Значение граничных условий, которое вы задаете в $$s_0$$ не обязательно быть конечными желаемыми граничными условиями $$\lambda (s)$$.

Этот пример использует титановые тестовые данные, стандартный набор данных, используемый в подборе кривой данных. Загрузите данные с помощью titanium функция.

[x,y] = titanium;

Задайте коэффициенты для $$\lambda (s)$$.

a = -2;
b = -1;
c = 0;

Это граничное условие относится к крайнему левому концу набора данных.

e = x(1);

Теперь вычислите кубическую сплайн набора данных без наложения граничных условий.

s1 = csape(x,y);

Вычислять $$s_0$$, используйте нулевые данные той же длины, что и y с дополнительным набором нетривиальных граничных условий.

yZero = zeros(1,length(y));

Матрица 1 на 2 conds устанавливает граничные условия путем определения производных сплайна, которые нужно исправить. Этот пример использует граничные условия только в левом конце данных, поэтому используйте conds для фиксации первой производной в левом конце. В правом конце исправьте значение самой функции.

conds = [1 0];

Чтобы задать значения, к которым нужно исправить функцию или ее производные, добавьте их в качестве дополнительных значений к набору данных для подбора кривой - в этом случае yZero. Первый элемент задает значение в левом конце, а последний элемент задает значение в для правого конца.

На левом конце исправьте первую производную сплайна, чтобы иметь значение 1. В правом конце исправьте саму функцию равной 0 (исходное значение последнего элемента yZero). Сцепите эти значения граничных условий с соответствующими концами yZero и использовать csape для поиска сплайна, который соответствует данным с этими значениями граничных условий.

s0 = csape(x,[1 yZero 0],conds);

Вычислим полностью подобранный сплайн из этих данных с помощью вышеупомянутого выражения для $\mathit{s}$. Для этого вычислите значения для $${\lambda }_0=\lambda (s_0)$$ и $${\lambda }_1=\lambda (s_1)$$ использование первой и второй производных сплайнов $$s_0$$ и $$s_1$$.

d1s1 = fnder(fnbrk(s1,1));
d2s1 = fnder(d1s1);
d1s0 = fnder(fnbrk(s0,1));
d2s0 = fnder(d1s0);

Вычислите производные первой полиномиальной части сплайна, так как граничные условия применяются только к левому концу данных.

lam1 = a*fnval(d1s1, e) + b*fnval(d2s1,e);
lam0 = a*fnval(d1s0, e) + b*fnval(d2s0,e);

Теперь используйте $${\lambda }_1$$ и $${\lambda }_0$$ для вычисления конечного, полностью установленного сплайна.

pp = fncmb(s0,(c-lam1)/lam0,s1);

Постройте график сплайна, чтобы сравнить результаты подгонки по умолчанию и граничных условий.

fnplt(pp,[594, 632])
hold on
fnplt(s1,'b--',[594, 632])
plot(x,y,'ro','MarkerFaceColor','r')
hold off
axis([594, 632, 0.62, 0.655])
legend 'Desired end conditions' ...
'Default end-conditions' 'Data' ...
    Location SouthEast

Стационарная точка около первой точки данных показывает, что граничные условия реализованы в подгонке.

Использование csape для соответствия многомерным векторным данным. Этот пример подходит для данных с векторными значениями, используя различные граничные условия для каждой независимой переменной.

Во-первых, определите данные. В данном примере задайте трехмерные векторы v над 2-мерным полем, с зажатыми условиями или предписанными склонами в x направление и периодические граничные условия в y направление.

x = 0:4;
y = -2:2;

s2 = 1/sqrt(2);

v = zeros( 3, 7, 5 );
v(1,:,:) = [1 0 s2 1 s2 0 -1].'*[1 0 -1 0 1];
v(2,:,:) = [1 0 s2 1 s2 0 -1].'*[0 1 0 -1 0];
v(3,:,:) = [0 1 s2 0 -s2 -1 0].'*[1 1 1 1 1];

v является 3-мерным массивом с v(:,i+1,j) как значение вектора в координате x(i),y(j). Две дополнительные записи в x размерность задает значения уклона: точки данных v(:,1,j) и v(:,7,j) задайте значение первой производной по линиям x = 0 и x = 4 для зажатых граничных условий. В y размерность, периодические граничные условия не требуют каких-либо дополнительных спецификаций.

Теперь вычислите многомерную кубическую сплайн с помощью csape.

sph = csape({x,y},v,{'clamped','periodic'});

Чтобы построить график результата, сначала вычислите сплайн через подходящий интервал.

values = fnval(sph,{0:.1:4,-2:.1:2});

surf(squeeze(values(1,:,:)), ...
squeeze(values(2,:,:)), squeeze(values(3,:,:)));

axis equal
axis off

Можно также вычислить и построить график поверхности сплайна с помощью простой команды fnplt(sph). Обратите внимание, что v является 3-мерным массивом, и v(:,i+1,j) - 3-вектор, который должен совпадать с (x(i),y(j)), i=1:5, j=1:5. Дополнительно, в соответствии с conds{1} будучи 'clamped', size(v,2) 7 (а не 5), и первая и последняя запись v(r,:,j) задайте значения конечного уклона.

В некоторых случаях необходимо поставить граничным условиям граничных условий. В этом двухмерном примере вы воспроизводите бикубический полином g (x, y) = x³y³ путем полной бикубической интерполяции. Затем необходимые данные, включая значения граничных условий, извлекаются непосредственно из g, чтобы легче было увидеть, как должны быть размещены значения граничных условий. Наконец, вы проверяете результат.

sites = {[0 1],[0 2]}; coefs = zeros(4, 4); coefs(1,1) = 1;
g = ppmak(sites,coefs);
Dxg = fnval(fnder(g,[1 0]),sites);
Dyg = fnval(fnder(g,[0 1]),sites);
Dxyg = fnval(fnder(g,[1 1]),sites);

f = csape(sites,[Dxyg(1,1),   Dxg(1,:),    Dxyg(1,2); ...
                 Dyg(:,1), fnval(g,sites), Dyg(:,2) ; ...
                 Dxyg(2,1),   Dxg(2,:),    Dxyg(2,2)], ...
                                          {'complete','complete'});
if any(squeeze(fnbrk(f,'c'))-coefs)
    disp( 'this is wrong' )
end