Кубическая сплайн интерполяция
Примечание
Для более простого, но менее гибкого метода интерполяции кубических сплайнов попробуйте приложение Аппроксимирование Кривыми или fit и см. О сглаживании сплайнов.
pp=csapi(x,y)x который принимает значения y(:,j) при x(j) для j=1:length(x). Значения y(:,j) могут быть скалярами, векторами, матрицами и ND-массивами. Функция усредняет точки данных с тем же сайтом данных, а затем сортирует их по сайтам. С x получившиеся отсортированные сайты данных, сплайн s удовлетворяет граничным условиям и условиям отсутствия узла, таким как
где D3s является третьей производной s.
Если x - массив ячеек из последовательностей x1..., xm длин n1..., nm, затем y - массив размера [n1,...,nm] (или размера [d,n1,...,nm] если interpolant d-значен). В этом случае pp является ppform m- кубическая сплайн интерполяция, s к таким данным. В частности,
с и .
Чтобы выполнить операции на этом интерполирующем кубическом сплайне, таком как вычисление, дифференциация, графическое изображение, используйте структуру pp. Для получения дополнительной информации смотрите fnval, fnder, fnplt функций.
values = csapi(x,y,xx)xx. Этот синтаксис аналогичен fnval(csapi(x,y),xx).
Эта команда по существу является MATLAB® функция spline, которая, в свою очередь, является урезанной версией стандартной программы Фортран CUBSPL в PGS, кроме того csapi (и теперь также spline) принимает векторные данные и может обрабатывать сетчатые данные.
В этом примере показано, как использовать csapi команда из Curve Fitting Toolbox™, чтобы создать кубические сплайн интерполяции.
Интерполяция в две точки
Команда
values = csapi(x,y,xx)
возвращает значения в xx кубической сплайн интерполяции к данным (x,y), используя граничное условие, не являющееся узлом. Эта интерполяция является кусочно-кубической функцией с последовательностью пропусков x, чьи кубические кусочки соединяются вместе, чтобы сформировать функцию с двумя непрерывными производными. Граничное условие «не-узел» означает, что на первом и последнем внутренних пропусках даже третья производная непрерывна (до округления ошибки).
Установка только двух точек данных, результатов в прямой линии интерполяции.
x = [0 1]; y = [2 0]; xx = linspace(0,6,121); plot(xx,csapi(x,y,xx),'k-',x,y,'ro') title('Interpolant to Two Points')
Интерполяция по трем точкам
Если вы задаете три точки данных, функция выводит параболу.
x = [2 3 5]; y = [1 0 4]; plot(xx,csapi(x,y,xx),'k-',x,y,'ro') title('Interpolant to Three Points')
Интерполяция по пяти точкам
В более общем случае, если вы задаете четыре или пять точек данных, функция выводит кубический сплайн.
x = [1 1.5 2 4.1 5]; y = [1 -1 1 -1 1]; plot(xx,csapi(x,y,xx),'k-',x,y,'ro') title('Cubic Spline Interpolant to Five Points')
Вплоть до ошибок округления и принятия этого x вектор с по крайней мере четырьмя записями, оператор pp = csapi(x,y) поместите тот же сплайн в pp как и оператор:
pp = fn2fm(spapi(augknt(x([1 3:(end-2) end]),4),x,y),'pp');
кроме того, что описание сплайна, полученного этим вторым способом, не будет использовать break at x(2) и x(n-1).
Как простой двухмерный пример, постройте график бикубической сплайн интерполяции к мексиканской функции Hat:
x =.0001+[-4:.2:4];
y = -3:.2:3;
[yy,xx] = meshgrid(y,x);
r = pi*sqrt(xx.^2+yy.^2);
z = sin(r)./r;
bcs = csapi( {x,y}, z );
fnplt( bcs )
axis([-5 5 -5 5 -.5 1])
Поскольку MATLAB ® рассматривает запись z(i,j) как значение в (x(j), y(i)), код сторнируется x и y в вызове meshgrid. Curve Fitting Toolbox ® вместо этого следует стандарту теории аппроксимации, тогда как z(i,j) - значение в (x(i), y(j)).
По этой причине вы должны быть осторожны, когда вы строите графики значений такого двухмерного сплайна с помощью MATLAB mesh функция, как показано здесь:
xf = linspace(x(1),x(end),41);
yf = linspace(y(1),y(end),41);
mesh(xf, yf, fnval( bcs, {xf, yf}).')
Обратите внимание на использование транспонирования матрицы значений, полученных из fnval.
csapi является реализацией стандартной программы Фортран CUBSPL от PGS.
Алгоритм создает и решает соответствующую тридиагональную линейную систему, используя разреженную матрицу MATLAB.
Алгоритм также использует граничное условие не узла, заставляя первую и вторую полиномиальные части интерполяции совпадать, а также второе к последнему и последнее полиномиальные части.