Сплайн интерполяция
spline = spapi(knots,x,y)
k = length(knots) - length(x)
knots для чего (*) f(x(j)) = y(:,j), all j.
x те же самые, тогда:
с и Dmf - m-я производная f. В этом случае r -кратное повторение сайта, z в x соответствует предписанию значения и первому r - 1 производным f при z. Чтобы сопоставить среднее значение всех значений данных с одинаковыми данными, вызовите spapi с дополнительным четвертым аргументом.
Значения данных, y(:,j), могут быть скалярами, векторами, матрицами или ND-массивами.
spapi( , с k,x,y)k положительное целое число, задает требуемый порядок сплайна, k. В этом случае spapi функция вызывает aptknt функция для определения работоспособной, но не обязательно оптимальной последовательности узлов для заданных сайтов x. Другими словами, командная spapi(k,x,y) имеет тот же эффект, что и более явная команда spapi(aptknt(x,k),x,y).
spapi({knork1,...,knorkm},{x1,...,xm},y) возвращает B-форму интерполяции тензорного сплайна в данные с сеткой. Здесь, каждый knorki является либо последовательностью узлов, либо положительным целым числом, задающим полиномиальный порядок, используемый в i-я переменная. The spapi затем функция обеспечивает соответствующую последовательность узлов для i-я переменная. Далее, y должен быть значением (r+m)-размерный массив, с y(:,i1,...,im) данная величина для аппроксимации в site
[x{1}(i1),...,x{m}(im)], для всех i1..., im. В отличие от одномерного случая, если сплайн скалярно оценен, то y может быть m-мерный массив.
spapi(...,'noderiv') с вектором символов 'noderiv' как четвертый аргумент, имеет тот же эффект, что и spapi(...) за исключением того, что значения данных с одним и тем же сайтом интерпретируются по-разному. При наличии четвертого аргумента среднее значение значений данных с тем же сайтом данных интерполируется в таком сайте. Без него значения данных с тем же сайтом данных интерпретируются как значения последовательных производных, которые должны совпадать в таком сайте, как описано выше, в первом абзаце настоящего описания.
Функция spapi([0 0 0 0 1 2 2 2 2],[0 1 1 1 2],[2 0 1 2 -1]) производит уникальный кубический сплайн f на интервале [0... 2] с ровно одним внутренним узлом, в 1, который удовлетворяет пяти условиям
Они включают 3-кратное совпадение при 1, то есть совпадение там с предписанными значениями функции и ее первых двух производных.
Вот пример колебательной интерполяции к значениям y и склоны s на площадках x по квинтическому сплайну:
sp = spapi(augknt(x,6,2),[x,x,min(x),max(x)],[y,s,ddy0,ddy1]);
с ddy0 и ddy1 значения для второй производной в конечных точках.
Как связанный пример, если вы хотите интерполировать sin(x) функционирует в различных сайтах данных кубическим сплайном, и чтобы соответствовать его наклону в подпоследовательности x(s), затем вызовите spapi функция с этими аргументами:
sp = spapi(4,[x x(s)], [sin(x) cos(x(s))]).
Функция aptknt обеспечивает подходящую последовательность узлов. Если вы хотите интерполировать те же данные квинтовыми сплайнами, то просто измените значение 4 на 6.
Как двухмерный пример, здесь является двухмерной интерполяцией.
x = -2:.5:2; y = -1:.25:1; [xx, yy] = ndgrid(x,y);
z = exp(-(xx.^2+yy.^2));
sp = spapi({3,4},{x,y},z); fnplt(sp)
Как рисунок колебательной интерполяции в данные с сеткой, вот полная бикубическая интерполяция с данными, явно выведенными из бикубного полинома . Это полезно, чтобы увидеть, где именно склоны и склоны склонов (производные от поперечных сечений) должны быть помещены в предоставленные значения данных. Поскольку g является бикубическим полиномом, его интерполяция, f, должна быть самой g. Протестируйте это:
sites = {[0,1],[0,2]}; coefs = zeros(4,4); coefs(1,1) = 1;
g = ppmak(sites,coefs);
Dxg = fnval(fnder(g,[1,0]),sites);
Dyg = fnval(fnder(g,[0,1]),sites);
Dxyg = fnval(fnder(g,[1,1]),sites);
f = spapi({4,4}, {sites{1}([1,2,1,2]),sites{2}([1,2,1,2])}, ...
[fnval(g,sites), Dyg ; ...
Dxg.' , Dxyg]);
if any( squeeze( fnbrk(fn2fm(f,'pp'), 'c') ) - coefs )
'something went wrong', endДанные (одномерные) узлы и сайты должны удовлетворять условиям Шенберга-Уитни для определения интерполяции. Если последовательность сайтов x является недекретизирующим, тогда
с равенством, возможным в knots(1) и knots(end)). В многомерном случае эти условия должны храниться в каждой переменной отдельно.
Функция вызывает spcol для обеспечения почти блокирующей диагонали матрицы словосочетания (Bj, k (x)) (с повторениями в x обозначающие производные, как описано выше), и slvblk решает линейную систему (*), используя блок QR-факторизации.
Функция подходит к данным с сеткой тензор-продукта, по одной переменной за раз, используя тот факт, что одномерный сплайн подгонки зависит линейно от значений, которые подгоняются.