Тонкопластинчатый сглаживающий сплайн
st = tpaps(x,y)x(:,j) и заданные значения данных y(:,j). The x(:,j) должны быть различными точками в плоскости, значения могут быть скалярами, векторами, матрицами, даже ND-массивами, и должно быть ровно столько значений, сколько есть сайтов.
Тонкопластинчатый сглаживающий сплайн f является уникальным минимизатором взвешенной суммы
с E (f) мерой ошибки
и R (f) измерение шероховатости
Здесь интеграл берется за все R2, | z |2 обозначает сумму квадратов всех записей z, а Dif обозначает частную производную f относительно его i-го аргумента, следовательно, интегрант включает вторые частные производные f. Функция выбирает параметр сглаживания p так что (1-p)/p равен среднему значению диагональных элементов матрицы A, с A + (1-p)/p*eye(n) матрица коэффициентов линейной системы для n коэффициенты сглаживающего сплайна, которые будут определены. Это обеспечивает пребывание между двумя крайностями интерполяции (когда p близок к 1 и матрица коэффициентов по существу A) и полное сглаживание (когда p близок к 0 и матрица коэффициентов по существу является произведением матрицы тождеств). Это служит хорошим первым предположением для p.
st = tpaps(x,y,p)p, число от 0 до 1. Когда параметр сглаживания изменяется от 0 до 1, сглаживающий сплайн изменяется, от приближения методом наименьших квадратов до данных линейным полиномом при p является 0, к тонкопластинчатой сплайн интерполяции к данным при p является 1.
[..., также возвращает значение параметра сглаживания, используемого в конечном результате сплайна, задаете ли вы или нет P] = tpaps(...) p. Этот синтаксис полезен для экспериментов, в которых можно начать с [pp,P] = tpaps(x,y) и получите разумное первое предположение для p.
Следующий код получает значения сглаженной функции на 31 случайным образом выбранных сайтах, добавляет к этим значениям некоторый случайный шум и затем использует tpaps чтобы восстановить базовые точные плавные значения. Чтобы проиллюстрировать, насколько хорошо tpaps делает в этом случае код строит, в дополнение к сглаживающему сплайну, точные значения (как черные мячи), а также каждую стрелу, ведущую от сглаженного значения к соответствующему шумовому значению.
rng(23); nxy = 31; xy = 2*(rand(2,nxy)-.5); vals = sum(xy.^2); noisyvals = vals + (rand(size(vals))-.5)/5; st = tpaps(xy,noisyvals); fnplt(st), hold on avals = fnval(st,xy); plot3(xy(1,:),xy(2,:),vals,'wo','markerfacecolor','k') quiver3(xy(1,:),xy(2,:),avals,zeros(1,nxy),zeros(1,nxy), ... noisyvals-avals,'r'), hold off
Следующий код использует интерполяцию сплайна тонкого диска к векторным значениям данных, чтобы создать карту, от плоскости к плоскости, которая несет единичный квадрат приблизительно на единичный диск .
n = 64; t = linspace(0,2*pi,n+1); t(end) = [];
values = [cos(t); sin(t)];
centers = values./repmat(max(abs(values)),2,1);
st = tpaps(centers, values, 1);
fnplt(st), axis equal
Обратите внимание на выбор 1 для параметра сглаживания здесь, чтобы получить интерполяцию.
Определение сглаживающего сплайна включает решение линейной системы с таким количеством неизвестных, сколько точек данных. Поскольку матрица этой линейной системы полна, решение может занять много времени, даже если, как это происходит здесь, итерационная схема используется, когда существует более 728 точек данных. Скорость сходимости этой итерации сильно зависит от p, и медленнее, чем больше p является. Итак, для больших задач используйте интерполяцию, т.е. p равен 1, только если вы можете позволить себе время.