MMSE Прогнозирование регрессионых моделей с ошибками ARIMA

Что такое прогнозы MMSE?

Цель анализа временных рядов состоит в том, чтобы генерировать прогнозы для откликов в будущем временном горизонте. Таким образом, Вы можете произвести предсказания для <reservedrangesplaceholder5> <reservedrangesplaceholder4> + 1, <reservedrangesplaceholder3> <reservedrangesplaceholder2> + 2..., <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0> + h, учитывая следующее:

Наблюдаемый ряд y 1, _y 2,..._, yT
Прогнозный горизонт h
Нестохастические предсказатели <reservedrangesplaceholder9> 1, _{<reservedrangesplaceholder8> 2}..., xT..., <reservedrangesplaceholder6> <reservedrangesplaceholder5> + h, где xk r - вектор, содержащий измерения r предсказателей, наблюдаемых во время k
Регрессионная модель с ошибками ARIMA

$\begin{array}{l} y_{t} = c + X_{t} β + u_{t} \\ Η (L) u_{t} = Ν (L) ε_{t}, \end{array}$
где H (L) и N (L) являются составными авторегрессивными и скользящими средними полиномами задержки (возможно, содержащими интегрирование), соответственно.

Давайте ${\hat{y}}_{t + 1}$ обозначить прогноз для процесса в момент времени t + 1, обусловленный историей процесса до t времени (_Ht), и предположить, что предикторы фиксированы. Прогноз минимальной средней квадратной ошибки (MMSE) является прогнозом ${\hat{y}}_{t + 1}$ который минимизирует ожидаемые квадратные потери,

$E {(y_{t + 1} - {\hat{y}}_{t + 1} | H_{t})}^{2} .$

Минимизация этой функции потерь приводит к прогнозу MMSE,

${\hat{y}}_{t + 1} = E (y_{t + 1} | H_{t}) .$

Как прогноз генерирует прогнозы MMSE

forecast генерирует прогнозы MMSE рекурсивно. Когда вы звоните forecast, вы должны задать regARIMA модель (Mdl) и прогнозный горизонт. Можно также задать предварительные наблюдения (Y0), предикторы (X0), инновации (E0) и условные нарушения порядка (U0) с использованием аргументов пары "имя-значение".

Чтобы начать прогнозирование _yt начиная с момента T + 1, используйте последние несколько наблюдений _yt и _Xt в качестве предварительных ответов и предикторов, чтобы инициализировать прогноз. Кроме того, можно задать предварительную выборку безусловных нарушений порядка или инноваций.

Однако при задании предварительных образцов данных:

Если вы предоставляете предопределительные данные предиктора (X0), тогда вы также должны предоставить прогнозы предиктора (XF). Лучшая практика задать X0 в ту же матрицу предикторов, которая оценивает параметры. Если вы не предоставляете предварительные выборки и будущие предикторы, то forecast игнорирует регрессионный компонент в модели.
Если ошибка обрабатывается в Mdl содержит сезонный или несезонный авторегрессивный компонент, или сезонное или несезонное интегрирование, затем forecast Для инициализации прогноза требуется минимум P предварительной выборки безусловных нарушений порядка. Свойство P от Mdl хранит P.
Если ошибка обрабатывается в Mdl содержит сезонный или несезонный компонент скользящего среднего значения, затем forecast Для инициализации прогноза требуется минимум Q нововведений presample. Свойство Q от Mdl хранит Q.
Если вы предоставляете достаточное количество предварительной выборки безусловных нарушений порядка, то forecast игнорирует Y0 и X0. Если вы также не предоставляете E0, но обеспечьте достаточное количество предварительных безусловных нарушений порядка, тогда forecast выводит необходимое количество предварительных примеров инноваций из модели ошибки ARIMA и U0.
Если вы предоставляете достаточное количество откликов presamples и предикторов (и не предоставляете U0), затем forecast использует регрессионую модель, чтобы вывести предварительный перед выборкой безусловных нарушений порядка.
Если вы не предоставляете предварительные наблюдения, то forecast устанавливает необходимое количество предварительной выборки безусловных нарушений порядка и инноваций равным 0.
Если вы предоставляете недостаточное количество предварительных наблюдений, то forecast возвращает ошибку.

Рассмотрите генерацию прогнозов из регрессионной модели с ошибками ARMA (3,2):

$\begin{matrix} y_{t} = c + X_{t} β + u_{t} \\ (1 - a_{1} L - a_{2} L^{2} - a_{3} L^{3}) u_{t} = (1 + b_{1} L + b_{2} L^{2}) ε_{t} \\ или \\ a (L) u_{t} = b (L) ε_{t}, \end{matrix}$

где a (L) и B (L) являются полиномами оператора задержки. Самая большая задержка AR - 3, самая большая задержка MA - 2. Эта модель не содержит ни сезонных лагов, ни интегрирования. Поэтому P = 3 и Q = 2. Чтобы предсказать эту модель, вам нужны три реакции presample и предикторы, или три перед выборкой безусловных нарушений порядка, и две инновации presample.

Учитывая предварительный перед выборкой безусловных нарушений порядка $(u_{T - 2}, u_{T - 1}, u_{T}),$ предварительный образец инноваций $(ε_{T - 1}, ε_{T}),$ и будущие предикторы $(X_{T + 1}, X_{T + 2}, ...),$ можно спрогнозировать модель следующим образом:

$\begin{array}{l} {\hat{u}}_{T + 1} = a_{1} u_{T} + a_{2} u_{T - 1} + a_{3} u_{T - 2} + b_{1} ε_{T} + b_{2} ε_{T - 1} \\ {\hat{y}}_{T + 1} = c + X_{T + 1} β + {\hat{u}}_{T + 1} . \end{array}$
$\begin{array}{l} {\hat{u}}_{T + 2} = a_{1} {\hat{u}}_{T + 1} + a_{2} u_{T} + a_{3} u_{T - 1} + b_{2} ε_{T} \\ {\hat{y}}_{T + 2} = c + X_{T + 2} β + {\hat{u}}_{T + 2} . \end{array}$
$\begin{array}{l} {\hat{u}}_{T + 3} = a_{1} {\hat{u}}_{T + 2} + a_{2} {\hat{u}}_{T + 1} + a_{3} u_{T} \\ {\hat{y}}_{T + 3} = c + X_{T + 3} β + {\hat{u}}_{T + 3} . \end{array}$

...

Обратите внимание, что:

Будущие инновации приобретают свое безусловное среднее, 0.
Для процессов стационарных ошибок, таких как этот:
- Прогнозируемые безусловные нарушения порядка сходятся к своему безусловному среднему значению,
  
  $E (u_{t}) = \frac{b (L)}{a (L)} E (ε_{t}) = 0.$
- c + _Xtβ управляет долгосрочным поведением прогнозируемых ответов.

Ошибка прогноза

Ошибка прогноза для s - шаг вперед прогноз модели регресса с ошибками ARIMA

$\begin{matrix} MSE = E {(y_{T + s} - {\hat{y}}_{T + s} | H_{T + s - 1})}^{2} \\ = E {(c + X_{T + s} β + u_{T + s} - c - X_{t + s} β - {\hat{u}}_{T + s} | H_{T + s - 1})}^{2} \\ = E {(u_{T + s} - {\hat{u}}_{T + s} | H_{T + s - 1})}^{2} \\ = \frac{Ν (L)}{Η (L)} E (ε_{t}^{2} | H_{T + s - 1}) \\ = ψ (L) σ^{2}, \end{matrix}$

где ψ дивидендов (L) является полиномом оператора бесконечной задержки, и σ² - инновационное отклонение.

Если процесс ошибки стационарный, то коэффициенты ψ (L) абсолютно суммируются. Поэтому MSE (средняя квадратная ошибка) сходится к безусловному отклонению процесса [1].

Если процесс ошибки не является стационарным, то MSE растет с увеличением s.

Ссылки

[1] Box, G. E. P., G. M. Jenkins, and G. C. Reinsel. Анализ временных рядов: прогнозирование и управление. 3-й эд. Englewood Cliffs, Нью-Джерси: Prentice Hall, 1994.

См. также

forecast | regARIMA

Подробнее о

Монте-Карло Прогнозирование моделей regARIMA

Документация