Применить рекурсивные регрессии с помощью вложенных окон для поиска нестабильности в объяснительной модели реального ВНП для периода, охватывающего Вторую мировую войну.

Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера.

load Data_NelsonPlosser

Временные ряды в наборе данных содержат ежегодные макроэкономические измерения с 1860 по 1970 год. Для получения дополнительной информации, списка переменных и описаний введите Description в командной строке.

Несколько серий имеют отсутствующие данные. Фокусируйте выборку на измерениях с 1915 по 1970 год. Идентифицируйте индекс точки останова, соответствующий 1945 году, концу войны.

span = (1915 <= dates) & (dates <= 1970);
bp = find(dates(span) == 1945);

Рассмотрим многофакторную линейную регрессию

Соберите переменные модели в табличный массив. Поместите предикторы в первые три столбца и ответ в последний столбец. Вычислите количество коэффициентов в модели.

Mdl = DataTable(span,[4,5,10,1]);
numCoeff = size(Mdl,2); % Three predictors and an intercept

Оцените коэффициенты с помощью рекурсивных регрессий и верните отдельные графики для итерационных оценок. Идентифицируйте итерацию, соответствующую концу войны.

recreg(Mdl);

bpIter = bp - numCoeff

bpIter = 27

По умолчанию recreg формирует подвыборки с помощью вложенных окон. Окончание войны (1945) происходит на 27-й итерации.

Все коэффициенты показывают некоторую начальную, переходную нестабильность в течение периода «горения» (см. Советы). График WR кажется стабильным, поскольку линия относительно плоская. Однако графики E, IPI, и точка пересечения (Const) показывают нестабильность, особенно сразу после итерации 27.

Проверяйте оценки коэффициентов на нестабильность в модели спроса на продовольствие во время Первой мировой войны. Реализуйте прямую и обратную рекурсивные регрессии в скользящем окне.

Загрузите набор данных о потреблении продовольствия в США, который содержит ежегодные измерения с 1927 по 1962 год с отсутствующими данными из-за войны.

load Data_Consumption

Для получения дополнительной информации о данных введите Description в командной строке.

Постройте график серии.

P = Data(:,1); % Food price index
I = Data(:,2); % Disposable income index
Q = Data(:,3); % Food consumption index 

figure;
plot(dates,[P I Q],'o-')
axis tight
grid on
xlabel('Year')
ylabel('Index')
title('{\bf Time Series Plot of All Series}')
legend({'Price','Income','Consumption'},'Location','SE')

Измерения отсутствуют с 1942 по 1947 год, что соответствует Второй мировой войне.

Чтобы изучить эластичность, примените преобразование журнала к каждой серии.

LP = log(P);
LI = log(I);
LQ = log(Q);

Рассмотрим модель, в которой потребление журнала является линейной функцией от журналов цен на продовольствие и доходов. Другими словами,

$${\epsilon }_t$$ является Гауссовой случайной переменной со средним 0 и стандартным отклонением $${\sigma }^2$$.

Идентифицируйте индекс точки останова на конец войны, 1945 год. Игнорируйте отсутствующие годы с отсутствующими данными.

numCoeff = 4; % Three predictors and an intercept
T = numel(dates(~isnan(P))); % Sample size
bpIdx = find(dates(~isnan(P)) >= 1945,1) - numCoeff

bpIdx = 12

12-я итерация соответствует окончанию войны.

Постройте графики оценок рекурсивно-регрессионного коэффициента с помощью окна качения размера 1/4 размера выборки. Укажите, чтобы построить график коэффициентов LP и LI только на том же рисунке.

X = [LP LI];
y = LQ;
window = ceil(T*1/4);
recreg(X,y,'Window',window,'Plot','combined','PlotVars',[0 1 1],...
    'VarNames',{'Log-price' 'Log-income'});

Постройте графики оценок рекурсивно-регрессионного коэффициента с помощью окна качения размера 1/3 размера выборки.

window = ceil(T*1/3);
recreg(X,y,'Window',window,'Plot','combined','PlotVars',[0 1 1],...
    'VarNames',{'Log-price' 'Log-income'});

Постройте графики оценок рекурсивно-регрессионного коэффициента с помощью окна качения размера 1/2 размера выборки.

window = ceil(T*1/2);
recreg(X,y,'Window',window,'Plot','combined','PlotVars',[0 1 1],...
    'VarNames',{'Log-price' 'Log-income'});

Когда размер окна увеличивается, линии показывают меньшую волатильность, но коэффициенты действительно показывают нестабильность.

Если линейная регрессионая модель нарушает допущения классической линейной модели, то стандартные ошибки коэффициентов OLS неправильны. Однако recreg имеет опции для оценки коэффициентов и стандартных ошибок, которые устойчивы к гетероскедастическим или автокоррелированным инновациям.

Симулируйте ряд из этой кусочно-регрессионой модели с ошибками AR (1), коэффициент регрессии которых изменяется в момент 51.

$${\epsilon }_t$$ - серия гауссовских инноваций со средним 0 и стандартным отклонением 0,5. $$x_t$$ является Гауссовым со средним 1 и стандартным отклонением 0,25.

rng(1); % For reproducibility
T = 100;
muX = 1;
sigmaX = 0.25;
x = sigmaX*randn(T,1) + muX;
ar = 0.6;
sigma = 0.5;
c = 5;
b = [3 -1];
y = zeros(T,1);
Mdl1 = regARIMA('AR',ar,'Variance',sigma,'Intercept',c,'Beta',b(1));
y(1:T/2) = simulate(Mdl1,T/2,'X',x(1:T/2));
Mdl2 = regARIMA('AR',ar,'Variance',sigma,'Intercept',c,'Beta',b(2));
y((T/2 + 1):T) = simulate(Mdl2,T/2,'X',x((T/2 + 1):T));

Оцените рекурсивные коэффициенты регрессии с использованием OLS.

[CoeffOLS,SEOLS] = recreg(x,y,'Plot','separate');

После переходных эффектов 5 находится в пределах доверительных границ оценок точки пересечения. Существует незначительный, но стойкий шок на итерации 50. Оценки коэффициентов показывают структурное изменение после итерации 60.

Для учета автокоррелированных инноваций оцените рекурсивные коэффициенты регрессии с помощью OLS, но с устойчивыми стандартными ошибками Ньюи-Уэста. Для оценки стандартных ошибок HAC используйте квадратично-спектральную схему взвешивания.

hacOptions.Weights = 'QS';
[CoeffNW,SENW] = recreg(x,y,'Estimator','hac','Options',hacOptions,...
    'Plot','separate');

Оценки коэффициентов HAC совпадают с оценками OLS. Доверительные границы немного отличаются, потому что стандартные оценки ошибок различаются.