Явное создание модели пространства состояний

A = 0.5;
B = 0.2;
C = 2;
D = 0.01;
Mdl = ssm(A,B,C,D)

Mdl = 
State-space model type: ssm

State vector length: 1
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: 1
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: Unlimited

State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...

State equation:
x1(t) = (0.50)x1(t-1) + (0.20)u1(t)

Observation equation:
y1(t) = (2)x1(t) + (0.01)e1(t)

Initial state distribution:

Initial state means
 x1 
  0 

Initial state covariance matrix
     x1   
 x1  0.05 

State types
     x1     
 Stationary 

Mdl является ssm объект модели. Поскольку все параметры имеют известные значения, объект полностью задан.

Постройте график IRF переменных измерения и состояния.

irfplot(Mdl);

График, озаглавленный U1 - > Y1, является IRF ${\mathit{y}}_{\mathit{t}}$, и график, озаглавленный U1 - > X1, является IRF ${\mathit{x}}_{\mathit{t}}$. Оба IRF показывают, что эффекты шока на систему уменьшаются примерно через 8 периодов.

Постройте график 10-периодных IRF только переменных измерения в системе.

Явное создание многомерной модели рассеянного пространства состояний

A = [1 0; 1 0.3];
B = [0.2 0; 0 1];
C = [1 0; 1 1];
D = eye(2);
Mdl = dssm(A,B,C,D)

Mdl = 
State-space model type: dssm

State vector length: 2
Observation vector length: 2
State disturbance vector length: 2
Observation innovation vector length: 2
Sample size supported by model: Unlimited

State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...

State equations:
x1(t) = x1(t-1) + (0.20)u1(t)
x2(t) = x1(t-1) + (0.30)x2(t-1) + u2(t)

Observation equations:
y1(t) = x1(t) + e1(t)
y2(t) = x1(t) + x2(t) + e2(t)

Initial state distribution:

Initial state means
 x1  x2 
  0   0 

Initial state covariance matrix
     x1   x2  
 x1  Inf  0   
 x2  0    Inf 

State types
    x1       x2   
 Diffuse  Diffuse 

Mdl является полностью заданным ssm объект модели.

Постройте график двух 10-периодических IRF ${\mathit{y}}_{2,\mathit{t}}$, и подавить переменные IRF состояния.

irfplot(Mdl,'NumPeriods',10,'PlotY',2,'PlotX',[]);

Верхний подграфик является IRF ${\mathit{y}}_{2,\mathit{t}}$ в результате шока ${\mathit{u}}_{1,\mathit{t}}$, который является постоянным, потому что шок фильтрует через случайное состояние ходьбы ${\mathit{x}}_{1,\mathit{t}}$.

Нижний подграфик является IRF ${\mathit{y}}_{2,\mathit{t}}$ в результате шока ${\mathit{u}}_{2,\mathit{t}}$, который является переходным и в конечном счете уменьшается по мере истечения времени, потому что состояние ${\mathit{x}}_{2,\mathit{t}}$ проявляет ауторегрессивное поведение.

Симулируйте данные из известной модели, подгоняйте данные к модели пространства состояний, а затем постройте совокупные IRF предполагаемой модели к заданным осям.

Предположим, что процесс генерации данных (DGP) является моделью AR (1)

где ${\mathit{u}}_{\mathit{t}}$ - серия независимых и одинаково распределенных Гауссовых переменных со средним значением 0 и отклонением 1.

Симулируйте 500 наблюдений от модели.

rng(1); % For reproducibility
DGP = arima('Constant',1,'AR',{0 0.75},'Variance',1);
y = simulate(DGP,500);

Явным образом создайте шаблон модели пространства состояний для оценки, который представляет модель

A = [0 NaN NaN; 0 1 0; 1 0 0];
B = [NaN; 0; 0];
C = [1 0 0];
D = 0;
Mdl = ssm(A,B,C,D,'StateType',[0 1 0]);

Подбор шаблона модели к данным. Задайте набор положительных, случайных стандартных Гауссовых начальных значений для трех параметров модели.

EstMdl = estimate(Mdl,y,abs(randn(3,1)));

Method: Maximum likelihood (fminunc)
Sample size: 500
Logarithmic  likelihood:     -892.214
Akaike   info criterion:      1790.43
Bayesian info criterion:      1803.07
      |     Coeff      Std Err   t Stat     Prob  
--------------------------------------------------
 c(1) | 0.41320       0.12199    3.38730  0.00071 
 c(2) | 0.67319       0.02749   24.48749   0      
 c(3) | 1.11450       0.03623   30.76557   0      
      |                                           
      |  Final State   Std Dev    t Stat    Prob  
 x(1) | 3.69929        0          Inf      0      
 x(2) |  1             0          Inf      0      
 x(3) | 1.43378        0          Inf      0      

EstMdl является полностью заданным dssm объект модели.

Постройте график совокупных IRF первой и третьей переменных состояния и переменной измерения в EstMdl. Верните график на том же рисунке, на трех отдельных подграфиках.

ax = gobjects(3,1);
for j = 1:numel(ax)
    ax(j) = subplot(3,1,j);
end
irfplot(ax,EstMdl,'Cumulative',true,'PlotX',[1 3]);

Поскольку ${\mathit{y}}_{\mathit{t}}={\mathit{x}}_{\mathit{t}}$два верхних IRF на рисунке эквивалентны. Поскольку ${\mathit{x}}_{1,\mathit{t}-1}={\mathit{x}}_{3,\mathit{t}}$IRF в подграфике в нижней части рисунка смещен налево относительно двух других графиков.

Симулируйте данные из изменяющейся во времени модели пространства состояний, подбирайте модель к данным, затем стройте график изменяющегося во времени IRF предполагаемой модели.

Рассмотрите DGP, представленный этой системой

Функция timeVariantAR1ParamMap.m, хранится в mlr/examples/econ/main, задает структуру модели. mlr - значение matlabroot.

type timeVariantAR1ParamMap.m

% Copyright 2020 The MathWorks, Inc.

function [A,B,C,D] = timeVariantAR1ParamMap(params)
% Time-varying state-space model parameter mapping function example. This
% function maps the vector params to the state-space matrices (A, B, C, and
% D). From periods 1 through 10, the state model is an AR(1)model, and from
% periods 11 through 20, the state model is possibly a different AR(1)
% model. The measurement equation is the same throughout the time span.
    A1 = {params(1)};
    A2 = {params(2)};
    varu1 = exp(params(3));  % Positive variance constraints
    varu2 = exp(params(4));
    B1 = {sqrt(varu1)}; 
    B2 = {sqrt(varu2)};
    C = params(5);
    vare1 = exp(params(6));
    D = sqrt(vare1);
    A = [repmat(A1,10,1); repmat(A2,10,1)];
    B = [repmat(B1,10,1); repmat(B2,10,1)];
end

Неявно создайте частично заданную модель пространства состояний, представляющую DGP. В данном примере исправьте коэффициент чувствительности к измерениям $\mathit{C}$ на 1.5.

C = 1.5;
fixCParamMap = @(x)timeVariantAR1ParamMap([x(1:4), C, x(5)]);
DGP = ssm(fixCParamMap);

Симулируйте 20 наблюдений от DGP. Потому что DGP частично задано, передайте истинные значения параметров в simulate при помощи 'Params' аргумент пары "имя-значение".

rng(10) % For reproducibility
A1 = 0.75;
A2 = -0.1; 
B1 = 1;
B2 = 3;
D = 2;
trueParams = [A1 A2 2*log(B1) 2*log(B2) 2*log(D)]; % Transform variances for parameter map
y = simulate(DGP,20,'Params',trueParams);

y вектор 20 на 1 моделируемых измерений ${\mathit{y}}_{\mathit{t}}$ от ДГУ.

Потому что DGP является частично заданным, неявным объектом модели, его параметры неизвестны. Поэтому он может служить шаблоном модели для оценки.

Подбор модели к моделируемым данным. Задайте случайные стандартные Гауссовы рисунки для начальных значений параметров. Верните оценки параметров.

[~,estParams] = estimate(DGP,y,randn(1,5),'Display','off')

estParams = 1×5

    0.6164   -0.1665    0.0135    1.6803   -1.5855

estParams является вектором 1 на 5 оценок параметров. Список выходных аргументов функции отображения параметров определяет порядок оценок: A{1}, A{2}, B{1}, B{2}, и D.

Постройте график IRF переменных измерения и состояния путем подачи DGP (не предполагаемая модель) и предполагаемые параметры при помощи 'Params' аргумент пары "имя-значение".

h = irfplot(DGP,'Params',estParams);
xline(h(1,1).Parent,10.5,'--')

xline(h(1,2).Parent,10.5,'--')

Рисунки показывают изменяющиеся во времени IRF переменных измерения и состояния. Первые 10 периодов соответствуют IRF первого уравнения состояния. В течение периода 11 то, что остается от удара, переходит ко второму уравнению состояния и фильтрует через эту систему, пока она не уменьшается.

Постройте график переменного IRF измерения и 95% доверительных интервалов на истинных IRF.

Предположим, что процесс генерации данных (DGP) является моделью AR (1)

где ${\mathit{u}}_{\mathit{t}}$ - серия независимых и одинаково распределенных Гауссовых переменных со средним значением 0 и отклонением 1.

Симулируйте 500 наблюдений от модели.

rng(1); % For reproducibility
DGP = arima('Constant',1,'AR',{0 0.75},'Variance',1);
y = simulate(DGP,500);

Явно создайте шаблон модели рассеянного пространства состояний для оценки, которая представляет модель. Подгонка модели к данным и оценка возвращаемого параметра и их соответствующая оценочная ковариационная матрица.

A = [0 NaN NaN; 0 1 0; 1 0 0];
B = [NaN; 0; 0];
C = [1 0 0];
D = 0;
Mdl = dssm(A,B,C,D,'StateType',[0 1 0]);
[~,estParams,EstParamCov] = estimate(Mdl,y,abs(randn(3,1)));

Method: Maximum likelihood (fminunc)
Effective Sample size:            500
Logarithmic  likelihood:     -892.214
Akaike   info criterion:      1790.43
Bayesian info criterion:      1803.07
      |     Coeff      Std Err   t Stat     Prob  
--------------------------------------------------
 c(1) | 0.41320       0.12199    3.38730  0.00071 
 c(2) | 0.67319       0.02749   24.48749   0      
 c(3) | 1.11450       0.03623   30.76557   0      
      |                                           
      |  Final State   Std Dev    t Stat    Prob  
 x(1) | 3.69929        0          Inf      0      
 x(2) |  1             0          Inf      0      
 x(3) | 1.43378        0          Inf      0      

Mdl является полностью заданным, предполагаемым dssm объект модели.

Постройте график IRF с его 95% доверительными интервалами переменной измерения.

irfplot(Mdl,'Params',estParams,'EstParamCov',EstParamCov,...
    'PlotX',[]);

Синяя линия представляет предполагаемый IRF ${\mathit{y}}_{\mathit{t}}$. Штриховые красные линии представляют верхние и более низкие, точечные 95% доверительные границы истинного IRF. Модель имеет только один срок задержки (задержка 2), так как шок фильтрует через систему, это влияет на первую переменную состояния только в нечетных периодах.