Trend-Stationary и Difference-Stationary Процессы

Нестационарные процессы

Стационарный стохастический процесс является базовым блоком многих эконометрических временных рядов. Многие наблюдаемые временные ряды, однако, имеют эмпирические функции, которые несовместимы с допущениями стационарности. Например, на следующем графике показан ежеквартальный ВВП США, измеренный с 1947 по 2005 год. В этой серии существует очень очевидный тренд к росту, которую следует включить в любую модель процесса.

load Data_GDP
plot(Data)
xlim([0,234])
title('Quarterly U.S. GDP, 1947-2005')

Figure contains an axes. The axes with title Quarterly U.S. GDP, 1947-2005 contains an object of type line.

Трендовое среднее является общим нарушением стационарности. Существуют две популярные модели нестационарных серий с трендовым средним.

Тренд стационарный: Средняя тенденция детерминированная. Когда тренд оценивается и удаляется из данных, остаточный ряд является стационарным стохастическим процессом.
Различие стационарная: Средний тренд является стохастической. Дифференцирование чисел D раз приводит к стационарному стохастическому процессу.

Различие между детерминированным и стохастическим трендом имеет важные последствия для долгосрочного поведения процесса:

Временные ряды с детерминированным трендом всегда возвращаются к тренду в долгосрочном запуске (эффекты потрясений в конечном счете устраняются). Интервалы прогноза имеют постоянную ширину.
Временные ряды со стохастическим трендом никогда не восстанавливаются после потрясений в системе (эффекты потрясений являются постоянными). Интервалы прогноза растут с течением времени.

К сожалению, для любого конечного объема данных существует детерминированный и стохастический тренд, которая одинаково хорошо соответствует данным (Hamilton, 1994). Модульные корневые тесты являются инструментом для оценки наличия стохастического тренда в наблюдаемой серии.

Тренд стационарный

Можно написать trend-стационарный процесс, _yt, как

$y_{t} = μ_{t} + ε_{t},$

где:

$μ_{t}$ является детерминированным средним трендом.
$ε_{t}$ является стационарным стохастическим процессом со средним нулем.

В некоторых приложениях тренд представляет первостепенный интерес. Методы разложения временных рядов фокусируются на разложении $μ_{t}$ в различные источники тренда (например, компонент светского тренда и сезонный компонент). Можно разложить ряд непараметрически с помощью фильтров (скользящие средние значения) или параметрически с помощью методов регрессии.

Учитывая оценку ${\hat{μ}}_{t}$ , вы можете исследовать остаточный ряд $y_{t} - {\hat{μ}}_{t}$ для автокорреляции и опционально моделируйте ее с помощью стационарной стохастической модели процесса.

Различия Стационарные

В подходе моделирования Бокса-Дженкинса [2] нестационарные временные ряды различаются до достижения стационарности. Вы можете написать разностно-стационарный процесс, _yt, как

$Δ^{D} y_{t} = μ + ψ (L) ε_{t},$

где:

$Δ^{D} = {(1 - L)}^{D}$ является оператором дифференцирования D-й степени.
$ψ (L) = (1 + ψ_{1} L + ψ_{2} L^{2} + \dots)$ является полиномом оператора бесконечной задержки с абсолютно суммируемыми коэффициентами и всеми корнями, лежащими вне модуля круга.
$ε_{t}$ является некоррелированным инновационным процессом со средним нулем.

Временные ряды, которые могут быть сделаны стационарными путем дифференцирования, называются интегрированными процессами. В частности, когда D различий требуются для того, чтобы сделать последовательность стационарной, этот ряд называется интегрированным из порядок <reservedrangesplaceholder3>, обозначенных I (D). Часто говорят, что процессы с D ≥ 1 имеют модуль корень.

Ссылки

[1] Гамильтон, Дж. Д. Анализ временных рядов. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994.

[2] Box, G. E. P., G. M. Jenkins, and G. C. Reinsel. Анализ временных рядов: прогнозирование и управление. 3-й эд. Englewood Cliffs, Нью-Джерси: Prentice Hall, 1994.

Документация