Исследуйте чувствительность плохо обусловленной матрицы.

Заметная матрица, которая симметрична и положительно определена, но плохо обусловлена, является Гильбертовой матрицей. Элементами гильбертовой матрицы являются $$H(i,j)=1/(i+j-1)$$.

Создайте Гильбертову матрицу 10х10.

A = hilb(10);

Найдите обратное число обусловленности матрицы.

C = rcond(A)

C = 2.8286e-14

Обратное число обусловленности маленькая, так что A плохо обусловлен.

Область условия A оказывает влияние на решения аналогичных линейных систем уравнений. Чтобы увидеть это, сравните решение $$Ax=b$$ к возмущенной системе, $$Ax=b+0.01$$.

Создайте вектор-столбец из них и решите $$Ax=b$$.

b = ones(10,1);
x = A\b;

Теперь измените $$b$$ по 0.01 и решить возмущенную систему.

b1 = b + 0.01;
x1 = A\b1;

Сравните решения, x и x1.

norm(x-x1)

ans = 1.1250e+05

Начиная с A плохо обусловлен, небольшая перемена в b приводит к очень большому изменению (порядка 1e5) в решении x = A\b. Система чувствительна к возмущениям.

Рассмотрим, почему число взаимных обусловленности является более точной мерой особенности, чем определяющий.

Создайте кратное матрице тождеств 5 на 5.

A = eye(5)*0.01;

Эта матрица является полной рангом и имеет пять равных сингулярных значений, которые можно подтвердить вычислением svd(A).

Вычислим определяющего A.

det(A)

ans = 1.0000e-10

Несмотря на то, что определяющий матрицы близок к нулю, A на самом деле очень хорошо обусловлен и не близок к тому, чтобы быть сингулярным.

Вычислим обратное число обусловленности A.

rcond(A)

ans = 1

Матрица имеет взаимное число обусловленности 1 и поэтому очень хорошо обусловлена. Использование rcond(A) или cond(A) а не det(A) для подтверждения особенности матрицы.