residue

Расширение частичной фракции (разложение частичной фракции)

Синтаксис

[r,p,k]
= residue(b,a)

[b,a] =
residue(r,p,k)

Описание

пример

[r,p,k] = residue(b,a) находит остатки, полюсы и прямой член Расширения Частичной дроби отношения двух полиномов, где расширение имеет вид

$\frac{b (s)}{a (s)} = \frac{b_{m} s^{m} + b_{m - 1} s^{m - 1} + \dots + b_{1} s + b_{0}}{a_{n} s^{n} + a_{n - 1} s^{n - 1} + \dots + a_{1} s + a_{0}} = \frac{r_{n}}{s - p_{n}} + ... + \frac{r_{2}}{s - p_{2}} + \frac{r_{1}}{s - p_{1}} + k (s) .$

Входы residue являются векторами коэффициентов полиномов b = [bm ... b1 b0] и a = [an ... a1 a0]. Выходные выходы являются остатками r = [rn ... r2 r1], полюса p = [pn ... p2 p1], и полином k. Для большинства задач учебника, k является 0 или константа.

пример

[b,a] = residue(r,p,k) преобразует расширение частичной дроби назад в отношение двух полиномов и возвращает коэффициенты в b и a.

Примеры

свернуть все

Найдите частичное расширение дроби с реальными корнями

Открыть Live Script

Найдите частичное расширение дроби следующего отношения полиномов F (s) с помощью residue

$F (s) = \frac{b (s)}{a (s)} = \frac{- 4 s + 8}{s^{2} + 6 s + 8} .$

b = [-4 8];
a = [1 6 8];
[r,p,k] = residue(b,a)

p = 2×1

    -4
    -2

k =

     []

Это представляет расширение частичной дроби

$\frac{- 4 s + 8}{s^{2} + 6 s + 8} = \frac{- 12}{s + 4} + \frac{8}{s + 2} .$

Преобразуйте расширение частичной дроби назад в полиномиальные коэффициенты с помощью residue.

[b,a] = residue(r,p,k)

b = 1×2

    -4     8

a = 1×3

     1     6     8

Этот результат представляет исходную фракцию F (s).

Расширение со сложными корнями и равной степенью числителя и знаменателя

Открыть Live Script

Если степень числителя равна степени знаменателя, выход k может быть ненулевым.

Найдите частичное расширение дроби отношения двух полиномов F (s) с комплексными корнями и равной степенью числителя и знаменателя, где F (s) является

$F (s) = \frac{b (s)}{a (s)} = \frac{2 s^{3} + s^{2}}{s^{3} + s + 1} .$

b = [2 1 0 0];
a = [1 0 1 1];
[r,p,k] = residue(b,a)

r = 3×1 complex

   0.5354 + 1.0390i
   0.5354 - 1.0390i
  -0.0708 + 0.0000i

p = 3×1 complex

   0.3412 + 1.1615i
   0.3412 - 1.1615i
  -0.6823 + 0.0000i

k = 2

residue возвращает комплексные корни и полюса и постоянный член в k, представляющий расширение частичной дроби

$F (s) = \frac{b (s)}{a (s)} = \frac{2 s^{3} + s^{2}}{s^{3} + s^{2} + 1} = \frac{0.5354 + 1.0390 i}{s - (0.3412 + 1.1615 i)} + \frac{0.5354 - 1.0390 i}{s - (0.3412 - 1.1615 i)} + \frac{- 0.0708}{s + 0.6823} + 2 .$

Расширение со степенью числителя, большей, чем степень знаменателя

Открыть Live Script

Когда степень числителя больше степени знаменателя, выход k является вектором, который представляет коэффициенты полинома в s.

Выполните следующее частичное расширение F (ов) с помощью residue.

$F (s) = \frac{b (s)}{a (s)} = \frac{2 s^{4} + s}{s^{2} + 1} = \frac{0.5 - 1 i}{s - 1 i} + \frac{0.5 + 1 i}{s + 1 i} + 2 s^{2} - 2 .$

b = [2 0 0 1 0];
a = [1 0 1];
[r,p,k] = residue(b,a)

r = 2×1 complex

   0.5000 - 1.0000i
   0.5000 + 1.0000i

p = 2×1 complex

   0.0000 + 1.0000i
   0.0000 - 1.0000i

k = 1×3

     2     0    -2

k представляет полином $2 s^{2} - 2$ .

Входные параметры

свернуть все

`b` - Коэффициенты полинома числителя
вектор чисел

Коэффициенты полинома в числителе, заданные как вектор чисел, представляющих коэффициенты многочлена в нисходящих степенях s.

Типы данных: single | double
Поддержка комплексного числа: Да

`a` - Коэффициенты полинома знаменателя
вектор чисел

Коэффициенты полинома в знаменателе, заданные как вектор чисел, представляющих коэффициенты многочлена в нисходящих степенях s.

Типы данных: single | double
Поддержка комплексного числа: Да

Выходные аргументы

свернуть все

`r` - Остатки частичного расширения фракции
Вектор-столбец чисел

Остатки частичного расширения фракции, возвращенные как вектор-столбец чисел.

`p` - полюса частичного расширения фракции
Вектор-столбец чисел

Полюса частичного расширения дроби, возвращенные как вектор-столбец чисел.

`k` - Прямой срок
вектор-строка чисел

Прямой член, возвращенный как вектор-строка чисел, которые задают коэффициенты полинома в нисходящих степенях s.

Подробнее о

свернуть все

Расширение частичной дроби

Рассмотрим дробь F (s) двух полиномов b и a степени n и m, соответственно

$F (s) = \frac{b (s)}{a (s)} = \frac{b_{n} s^{n} + \dots + b_{2} s^{2} + b_{1} s + b_{0}}{a_{m} s^{m} + \dots + a_{2} s^{2} + a_{1} s + a_{0}} .$

F дроби (s) может быть представлена как сумма простых дробей

$\frac{b (s)}{a (s)} = \frac{r_{m}}{s - p_{m}} + \frac{r_{m - 1}}{s - p_{m - 1}} + \dots + \frac{r_{0}}{s - p_{0}} + k (s)$

Эта сумма называется частичным расширением F. Значения r m,..., r 1 являются остатками, значения p m,._.., p 1 являются полюсами, а k (s) является полиномом в s. Для большинства задач учебника k (s) является 0 или константой.

Количество полюсов n является

n = length(a)-1 = length(r) = length(p)

Вектор прямого термина пуст, если length(b) < length(a); иначе

length(k) = length(b)-length(a)+1

Если p(j) = ... = p(j+m-1) - полюс кратности m, затем расширение включает условия вида

$\frac{r_{j}}{s - p_{j}} + \frac{r_{j + 1}}{{(s - p_{j})}^{2}} + \dots + \frac{r_{j + m - 1}}{{(s - p_{j})}^{m}} .$

Алгоритмы

residue сначала получает полюса, используя roots. Далее, если дробь является непатентованной, прямой термин k найдено с помощью deconv, который выполняет полиномиальное длинное деление. Наконец, residue определяет остатки путем оценки полинома с удаленными отдельными корнями. Для повторных корней, resi2 вычисляет остатки в повторяющихся корневых местоположениях.

Численно, частичное расширение дроби отношения полиномов представляет плохо поставленную задачу. Если многочлен знаменателя, a (s), близок к полиному с несколькими корнями, то небольшие изменения в данных, включая ошибки округления, могут привести к произвольно большим изменениям получившихся полюсов и остатков. Формулировки задачи, использующие представления пространства состояний или нули полюсов, являются предпочтительными.

Ссылки

[1] Oppenheim, A.V. and R.W. Schafer. Цифровая обработка сигналов. Prentice Hall, 1975, с. 56.

См. также

deconv | poly | roots

Темы

Создание и оценка полиномов

Представлено до R2006a

Документация

residue

Синтаксис

Описание

Примеры

Найдите частичное расширение дроби с реальными корнями

Расширение со сложными корнями и равной степенью числителя и знаменателя

Расширение со степенью числителя, большей, чем степень знаменателя

Входные параметры

`b` - Коэффициенты полинома числителя
вектор чисел

`a` - Коэффициенты полинома знаменателя
вектор чисел

Выходные аргументы

`r` - Остатки частичного расширения фракции
Вектор-столбец чисел

`p` - полюса частичного расширения фракции
Вектор-столбец чисел

`k` - Прямой срок
вектор-строка чисел

Подробнее о

Расширение частичной дроби

Алгоритмы

Ссылки

См. также

Темы

Документация MATLAB

Поддержка

Документация

residue

Синтаксис

Описание

Примеры

Найдите частичное расширение дроби с реальными корнями

Расширение со сложными корнями и равной степенью числителя и знаменателя

Расширение со степенью числителя, большей, чем степень знаменателя

Входные параметры

b - Коэффициенты полинома числителя вектор чисел

a - Коэффициенты полинома знаменателя вектор чисел

Выходные аргументы

r - Остатки частичного расширения фракции Вектор-столбец чисел

p - полюса частичного расширения фракции Вектор-столбец чисел

k - Прямой срок вектор-строка чисел

Подробнее о

Расширение частичной дроби

Алгоритмы

Ссылки

См. также

Темы

Документация MATLAB

Поддержка

`b` - Коэффициенты полинома числителя
вектор чисел

`a` - Коэффициенты полинома знаменателя
вектор чисел

`r` - Остатки частичного расширения фракции
Вектор-столбец чисел

`p` - полюса частичного расширения фракции
Вектор-столбец чисел

`k` - Прямой срок
вектор-строка чисел