fseminf

Найдите минимум полу-бесконечно ограниченной многомерной нелинейной функции

Уравнение

Находит минимум задачи, заданной в

$\min_{x} f (x) таким , что {\begin{matrix} A \cdot x \leq b, \\ A e q \cdot x = b e q, \\ l b \leq x \leq u b, \\ c (x) \leq 0, \\ c e q (x) = 0, \\ K_{i} (x, w_{i}) \leq 0, 1 \leq i \leq n . \end{matrix}$

b и beq - векторы, A и Aeq матрицы, c (<reservedrangesplaceholder22>), ceq (<reservedrangesplaceholder20>), и Ki (<reservedrangesplaceholder18>) - функции, которые возвращают векторы, и f (<reservedrangesplaceholder16>) - _{функция} , которая возвращает скаляр. f (x), c (x) и ceq (x) могут быть нелинейными функциями. _{Векторы} (или матрицы) Ki (x, wi) ≤ 0 являются непрерывными функциями обоих x и дополнительным набором переменных w 1, w 2,..., wn. Переменные w 1, w 2,..., wn являются векторами максимальной длины два.

x, lb и ub могут быть переданы как векторы или матрицы; см. Матричные аргументы.

Синтаксис

x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon) x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b) x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq) x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options) x = fseminf(problem) [x,fval] = fseminf(...) [x,fval,exitflag] = fseminf(...) [x,fval,exitflag,output] = fseminf(...) [x,fval,exitflag,output,lambda] = fseminf(...)

Описание

fseminf находит минимум полу-бесконечно ограниченной скалярной функции нескольких переменных, начиная с начальной оценки. Цель состоит в том, чтобы минимизировать f (<reservedrangesplaceholder2>), таким образом, ограничения держатся _для всех возможных значений <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0>¹ (или _wi ∈ ℜ²). Поскольку невозможно вычислить все возможные значения _Ki (_x,wi), необходимо выбрать область для _wi, над которой можно вычислить соответствующим образом выбранный множество значений.

Примечание

Передача дополнительных параметров объясняет, как передать дополнительные параметры целевой функции и нелинейным ограничительным функциям, если это необходимо.

x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon) начинается с x0 и находит минимум функции fun ограничены ntheta полуинфинитные ограничения, заданные в seminfcon.

x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b) также пытается удовлетворить линейным неравенствам A*x ≤ b.

x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq) минимизирует зависимости от линейных равенств Aeq*x = beq также. Задайте A = [] и b = [] если неравенства не существует.

x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub) задает набор нижних и верхних границ переменных проектов в x, так что решение всегда находится в области значений lb ≤ x ≤ ub.

Примечание

Смотрите Итерации могут нарушать ограничения.

x = fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options) минимизирует с опциями оптимизации, указанными в options. Использовать optimoptions чтобы задать эти опции.

x = fseminf(problem) находит минимум для problem, где problem - структура, описанная в Входные Параметры.

[x,fval] = fseminf(...) возвращает значение целевой функции fun в решении x.

[x,fval,exitflag] = fseminf(...) возвращает значение exitflag который описывает условие выхода.

[x,fval,exitflag,output] = fseminf(...) возвращает структуру output который содержит информацию об оптимизации.

[x,fval,exitflag,output,lambda] = fseminf(...) возвращает структуру lambda поля которого содержат множители Лагранжа в решении x.

Примечание

Если заданные входные ограничения для задачи несогласованны, выход x является x0 и выходные fval является [].

Входные параметры

Входные аргументы функции содержат общие описания аргументов, переданных в fseminf. В этом разделе приведены подробные сведения о функциях для fun, ntheta, options, seminfcon, и problem:

`fun`	Функция, которая будет минимизирована. `fun` является функцией, которая принимает вектор `x` и возвращает скалярное `f`, целевая функция, оцененная как `x`. Функция `fun` может быть задан как указатель на функцию для файла x = fseminf(@myfun,x0,ntheta,seminfcon) где `myfun` является MATLAB^® функция, такая как function f = myfun(x) f = ... % Compute function value at x `fun` может также быть указателем на функцию для анонимной функции. fun = @(x)sin(x''*x); Если градиент `fun` можно также вычислить и `SpecifyObjectiveGradient` опция `true`, как установлено options = optimoptions('fseminf','SpecifyObjectiveGradient',true) затем функция `fun` должен вернуть во втором выходном аргументе значение градиента `g`, вектор, в `x`.
`ntheta`	Количество полунепрерывных ограничений.
`options`	Опции содержат подробные сведения о функции для `options` значения.
`seminfcon`	Функция, которая вычисляет вектор нелинейных ограничений неравенства, `c`, вектор нелинейных ограничений равенства, `ceq`, и `ntheta` полуинфинитные ограничения (векторы или матрицы) `K1`, `K2`,`...`, `Kntheta` вычисляется за интервал `S` в точке `x`. Функция `seminfcon` может быть задан как указатель на функцию. x = fseminf(@myfun,x0,ntheta,@myinfcon) где `myinfcon` является функцией MATLAB, такой как function [c,ceq,K1,K2,...,Kntheta,S] = myinfcon(x,S) % Initial sampling interval if isnan(S(1,1)), S = ...% S has ntheta rows and 2 columns end w1 = ...% Compute sample set w2 = ...% Compute sample set ... wntheta = ... % Compute sample set K1 = ... % 1st semi-infinite constraint at x and w K2 = ... % 2nd semi-infinite constraint at x and w ... Kntheta = ...% Last semi-infinite constraint at x and w c = ... % Compute nonlinear inequalities at x ceq = ... % Compute the nonlinear equalities at x `S` - рекомендуемый интервал дискретизации, который может использоваться или не использоваться. Возврат `[]` для `c` и `ceq` если таких ограничений не существует. Векторы или матрицы `K1`, `K2`, `...`, `Kntheta` содержат полунепрерывные ограничения, рассчитанные для выборочного множества значений для независимых переменных `w1`, `w2`, `...`, `wntheta`, соответственно. Двухколоночная матрица, `S`, содержит рекомендуемый интервал выборки для значений `w1`, `w2`, `...`, `wntheta`, которые используются для оценки `K1`, `K2`, `...`, `Kntheta`. The `i`первая строка `S` содержит рекомендуемый интервал дискретизации для оценки `K``i`. Когда `K``i` является вектором, используется только `S(i,1)` (второй столбец может быть все нули). Когда `K``i` является матрицей, `S(i,2)` используется для дискретизации строк в `K``i`, `S(i,1)` используется для интервала дискретизации столбцов `K``i` (см. «Двумерное полумасштабное ограничение»). На первой итерации `S` является `NaN`, так что некоторый начальный интервал дискретизации должен быть определен `seminfcon`. Примечание Потому что функции Optimization Toolbox™ принимают только входы типа `double`, поставляемые пользователем целевые и нелинейные функции ограничения должны возвращать выходы типа `double`. Передача дополнительных параметров объясняет, как параметризировать `seminfcon`, при необходимости. Пример создания точек выборки содержит пример как одно-, так и двумерных точек выборки.
`problem`	`objective`	Целевая функция
	`x0`	Начальная точка для `x`
	`ntheta`	Количество полунепрерывных ограничений
	`seminfcon`	Полуинфинитная функция ограничения
	`Aineq`	Матрица для линейных ограничений неравенства
	`bineq`	Вектор для линейных ограничений неравенства
	`Aeq`	Матрица для линейных ограничений равенства
	`beq`	Вектор для линейных ограничений равенства
	`lb`	Вектор нижних границ
	`ub`	Вектор верхних границ
	`solver`	`'fseminf'`
	`options`	Опции, созданные с `optimoptions`

Выходные аргументы

Входные аргументы функции содержат общие описания аргументов, возвращаемых fseminf. В этом разделе приведены подробные сведения о функциях для exitflag, lambda, и output:

`exitflag`	Целое число, идентифицирующее причину завершения алгоритма. Ниже списки значения `exitflag` и соответствующие причины, по которым алгоритм остановился.
	`1`	Функция сходится к решению `x`.
	`4`	Величина направления поиска была меньше заданного допуска, а нарушение ограничений было меньше `options.ConstraintTolerance`.
	`5`	Величина производной по направлению была меньше заданного допуска, а нарушение ограничений было меньше `options.ConstraintTolerance`.
	`0`	Превышено количество итераций `options.MaxIterations` или превышено количество вычислений функции `options.MaxFunctionEvaluations`.
	`-1`	Алгоритм был остановлен выходной функцией.
	`-2`	Допустимая точка не найдена.
`lambda`	Структура, содержащая множители Лагранжа в решении `x` (разделяется типом ограничения). Поля структуры:
	`lower`	Нижние границы `lb`
	`upper`	Верхние границы `ub`
	`ineqlin`	Линейное неравенство
	`eqlin`	Линейные равенства
	`ineqnonlin`	Нелинейные неравенства
	`eqnonlin`	Нелинейные равенства
`output`	Структура, содержащая информацию об оптимизации. Поля структуры:
	`iterations`	Количество проделанных итераций
	`funcCount`	Количество вычислений функции
	`lssteplength`	Размер линии шага поиска относительно направления поиска
	`stepsize`	Окончательное перемещение в `x`
	`algorithm`	Используемый алгоритм оптимизации
	`constrviolation`	Максимум ограничительных функций
	`firstorderopt`	Мера оптимальности первого порядка
	`message`	Выходное сообщение

Опции

Опции оптимизации, используемые fseminf. Использовать optimoptions для установки или изменения options. Подробную информацию см. в Ссылке по опциям оптимизации.

Некоторые опции отсутствуют в optimoptions отображение. Эти опции выделены курсивом в следующей таблице. Для получения дополнительной информации см. раздел «Опции представления».

`CheckGradients`	Сравните поставляемые пользователем производные (градиенты цели или ограничения) с конечными дифференцирующими производными. Выбор следующий `true` или значение по умолчанию `false`. Для `optimset`, имя `DerivativeCheck` и значения `'on'` или `'off'`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`ConstraintTolerance`	Допуск завершения на нарушение ограничений, положительную скалярную величину. Значение по умолчанию является `1e-6`. См. «Допуски и критерий остановки». Для `optimset`, имя `TolCon`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
Диагностика	Отобразите диагностическую информацию о функции, которая будет минимизирована или решена. Выбор следующий `'on'` или значение по умолчанию `'off'`.
DiffMaxChange	Максимальное изменение переменных для градиентов конечных различий (a положительной скалярной величины). Значение по умолчанию является `Inf`.
DiffMinChange	Минимальное изменение переменных для градиентов с конечной разностью (a положительной скалярной величины). Значение по умолчанию является `0`.
`Display`	Level of display (см. Итеративное отображение): `'off'` или `'none'` не отображает выход. `'iter'` отображает выход при каждой итерации и выдает выходное сообщение по умолчанию. `'iter-detailed'` отображает выход при каждой итерации и выдает техническое выходное сообщение. `'notify'` отображает вывод только, если функция не сходится, и выдает выходное сообщение по умолчанию. `'notify-detailed'` отображает вывод только, если функция не сходится, и выдает техническое выходное сообщение. `'final'` (по умолчанию) отображает только окончательный выход и выдает выходное сообщение по умолчанию. `'final-detailed'` отображает только окончательный выход и выдает техническое выходное сообщение.
`FiniteDifferenceStepSize`	Скаляр или векторный коэффициент размера для конечных различий. Когда вы задаете `FiniteDifferenceStepSize` в вектор `v`, прямые конечные различия `delta` являются `delta = v.sign′(x).max(abs(x),TypicalX);` где `sign′(x) = sign(x)` кроме `sign′(0) = 1`. Центральные конечные различия `delta = v.*max(abs(x),TypicalX);` Скалярные `FiniteDifferenceStepSize` расширяется до вектора. Значение по умолчанию является `sqrt(eps)` для прямых конечных различий и `eps^(1/3)` для центральных конечных различий. Для `optimset`, имя `FinDiffRelStep`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`FiniteDifferenceType`	Конечные различия, используемые для оценки градиентов, либо `'forward'` (по умолчанию), или `'central'` (с центром). `'central'` принимает в два раза больше вычислений функции, но должен быть более точным. Алгоритм осторожен, чтобы подчиниться границам при оценке обоих типов конечных различий. Так, например, это может занять различие назад, а не вперед, чтобы избежать оценки в точке вне границ. Для `optimset`, имя `FinDiffType`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`FunctionTolerance`	Отклонение завершения функции от значения, a положительной скалярной величины. Значение по умолчанию является `1e-4`. См. «Допуски и критерий остановки». Для `optimset`, имя `TolFun`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
FunValCheck	Проверьте, действительны ли целевая функция и значения ограничений. `'on'` отображает ошибку, когда целевая функция или ограничения возвращают значение, которое `complex`, `Inf`, или `NaN`. Значение по умолчанию `'off'` не отображает ошибок.
`MaxFunctionEvaluations`	Максимально допустимое количество вычислений функции, положительное целое число. Значение по умолчанию является `100*numberOfVariables`. См. Допуски и критерий остановки и итерации и счетчики функций. Для `optimset`, имя `MaxFunEvals`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`MaxIterations`	Максимально допустимое количество итераций, положительное целое число. Значение по умолчанию является `400`. См. Допуски и критерий остановки и итерации и счетчики функций. Для `optimset`, имя `MaxIter`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
MaxSQPIter	Максимально допустимое количество итераций SQP, положительное целое число. Значение по умолчанию является `10*max(numberOfVariables, numberOfInequalities + numberOfBounds)`.
`OptimalityTolerance`	Допуск завершения по оптимальности первого порядка (a положительной скалярной величины). Значение по умолчанию является `1e-6`. См. «Мера оптимальности первого порядка». Для `optimset`, имя `TolFun`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`OutputFcn`	Задайте одну или несколько пользовательских функций, которые вызываются функциями оптимизации при каждой итерации. Передайте указатель на функцию или cell-массив указателей на функцию. Значением по умолчанию является none (`[]`). Смотрите Выходные функции и Синтаксис функции построения графика.
`PlotFcn`	Строит графики различных показателей прогресса во время выполнения алгоритма; выберите из предопределенных графиков или напишите свои собственные. Передайте имя, указатель на функцию или массив ячеек с именами или указатели на функцию. Для пользовательских функций построения графика передайте указатели на функцию. Значением по умолчанию является none (`[]`): `'optimplotx'` строит графики текущей точки. `'optimplotfunccount'` строит график счетчика функций. `'optimplotfval'` строит график значения функции. `'optimplotfvalconstr'` Строит графики наилучшего допустимого значения целевой функции, найденного как линейный график. График показывает недопустимые точки как красные, а допустимые - как синие, используя допустимый допуск `1e-6`. `'optimplotconstrviolation'` строит график максимального нарушения ограничений. `'optimplotstepsize'` строит графики размера шага. `'optimplotfirstorderopt'` строит графики меры оптимальности первого порядка. Пользовательские функции построения графика используют тот же синтаксис, что и выходные функции. Смотрите Выходные функции для Optimization Toolbox™ и синтаксиса выходной функции и функции построения графика. Для `optimset`, имя `PlotFcns`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
RelLineSrchBnd	Относительная граница (действительное неотрицательное скалярное значение) в длине шага поиска линии такой, что общее перемещение в `x` удовлетворяет \| Δ <reservedrangesplaceholder6> (<reservedrangesplaceholder5>) \| ≤ relLineSrchBnd · макс. (\| x (<reservedrangesplaceholder3>) \|, \| `typicalx (<reservedrangesplaceholder1>) \|). Эта опция обеспечивает управление величиной перемещений в x` для случаев, в которых решатель делает шаги, которые `fseminf` считает слишком большим. По умолчанию нет границ (`[]`).
RelLineSrchBndDuration	Количество итераций, для которых граница задана в `RelLineSrchBnd` должен быть активным (по умолчанию это `1`)
`SpecifyObjectiveGradient`	Градиент для целевой функции, заданный пользователем. См. предыдущее описание `fun` чтобы увидеть, как задать градиент в `fun`. Установите значение `true` иметь `fseminf` использовать пользовательский градиент целевой функции. Значение по умолчанию `false` причины `fseminf` для оценки градиентов с помощью конечных различий. Для `optimset`, имя `GradObj` и значения `'on'` или `'off'`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`StepTolerance`	Допуск завершения на `x`, а положительная скалярная величина. Значение по умолчанию `1e-4`. См. «Допуски и критерий остановки». Для `optimset`, имя `TolX`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
TolConSQP	Допуск завершения внутренней итерации SQP нарушения ограничений, a положительной скалярной величины. Значение по умолчанию является `1e-6`.
`TypicalX`	Типичные `x` значения. Количество элементов в `TypicalX` равно количеству элементов в `x0`, а начальная точка. Значение по умолчанию `ones(numberofvariables,1)`. `fseminf` использует `TypicalX` для масштабирования конечных различий для оценки градиента.

Примечания

Оптимизация стандартной программы fseminf может варьировать рекомендуемый интервал дискретизации, S, установить в seminfconво время расчета, потому что значения, отличные от рекомендуемого интервала, могут быть более подходящими для эффективности или робастности. Кроме того, _wi конечной области, над которыми вычисляется _Ki (x, wi), допускается изменяться во время оптимизации, при условии, что это не приводит к значительным изменениям числа локальных минимумов в Ki (_x, wi).

Примеры

свернуть все

Минимизируйте функцию с полу-бесконечными ограничениями

Открыть Live Script

Этот пример минимизирует функцию

$(x - 1)^{2}$ ,

удовлетворяющее ограничениям

$0 \leq x \leq 2$

$g (x, t) = (x - 1 / 2) - (t - 1 / 2)^{2} \leq 0$ для всех $0 \leq t \leq 1$ .

Без ограничений целевая функция минимизируется $x = 1$ . Однако ограничение

$g (x, t) \leq 0$ для всех $0 \leq t \leq 1$

подразумевает $x \leq 1 / 2$ . Заметьте, что $(t - 1 / 2)^{2} \geq 0$ , так

$\max_{t} g (x, t) = x - 1 / 2$ .

Поэтому,

$\max_{t} g (x, t) \leq 0$ когда $x \leq 1 / 2$ .

Чтобы решить эту проблему с помощью fseminf, запишите целевую функцию как анонимную функцию.

objfun = @(x)(x-1)^2;

Запишите полунепрерывную функцию ограничения seminfcon, который включает нелинейные ограничения ([] в этом случае), начальный интервал дискретизации для $t$ (от 0 до 1 с шагом 0,01 в этом случае) и полунепрерывной функцией ограничения $g (x, t)$ . Код для seminfcon функция появится в конце этого примера.

Установите начальную точку x0 = 0.2.

x0 = 0.2;

Задайте одно полубесконечное ограничение.

ntheta = 1;

Решите проблему, позвонив fseminf и просмотрите результат.

x = fseminf(objfun,x0,ntheta,@seminfcon)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the  value of the constraint tolerance.

x = 0.5000

Следующий код создает seminfcon функция.

function [c, ceq, K1, s] = seminfcon(x,s)

% No finite nonlinear inequality and equality constraints
c = [];
ceq = [];

% Sample set
if isnan(s)
    % Initial sampling interval
    s = [0.01 0];
end
t = 0:s(1):1;

% Evaluate the semi-infinite constraint
K1 = (x - 0.5) - (t - 0.5).^2;
end

Ограничения

Функция, которая будет минимизирована, ограничения и полубесконечные ограничения должны быть непрерывными функциями x и w. fseminf может дать только локальные решения.

Когда задача невозможна, fseminf пытается минимизировать максимальное значение ограничения.

Алгоритмы

fseminf использует кубические и квадратичные методы интерполяции, чтобы оценить пиковые значения в полубесконечных ограничениях. Пиковые значения используются, чтобы сформировать набор ограничений, которые передаются в метод SQP, как в fmincon функция. Когда количество ограничений изменяется, множители Лагранжа перераспределяются на новый набор ограничений.

Рекомендуемое вычисление интервала дискретизации использует различие между интерполированными пиковыми значениями и пиковыми значениями, появляющимися в наборе данных, чтобы оценить, должна ли функция принимать больше или меньше точек. Функция также оценивает эффективность интерполяции, экстраполируя кривую и сравнивая ее с другими точками кривой. Рекомендуемый интервал дискретизации уменьшается, когда пиковые значения близки к границам ограничений, т.е. нулю.

Для получения дополнительной информации об используемом алгоритме и типах процедур, отображаемых под Procedures курс, когда Display для опции задано значение 'iter' с optimoptions, см. также «Реализация SQP». Для получения дополнительной информации о fseminf алгоритм, см. Fseminf Формулировка задачи и алгоритм.

См. также

fmincon | optimoptions

Темы

Представлено до R2006a

Документация

fseminf

Уравнение

Синтаксис

Описание

Входные параметры

Выходные аргументы

Опции

Примечания

Примеры

Минимизируйте функцию с полу-бесконечными ограничениями

Ограничения

Алгоритмы

См. также

Темы

Документация по Optimization Toolbox

Поддержка