quadprog

Квадратичное программирование

Свернуть все на странице

Синтаксис

x = quadprog(H,f)

x = quadprog(H,f,A,b)

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

x = quadprog(problem)

[x,fval]
= quadprog(___)

[x,fval,exitflag,output]
= quadprog(___)

[x,fval,exitflag,output,lambda]
= quadprog(___)

[wsout,fval,exitflag,output,lambda]
= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,ws)

Описание

Решатель для квадратичных целевых функций с линейными ограничениями.

quadprog находит минимум для задачи, заданной

$\min_{x} \frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x таким , что {\begin{matrix} A \cdot x \leq b, \\ A e q \cdot x = b e q, \\ l b \leq x \leq u b . \end{matrix}$

H, A, и Aeq являются матрицами и f, b, beq, lb, ub, и x векторы.

Можно передать f, lb и ub как векторы или матрицы; см. Матричные аргументы.

Примечание

quadprog применяется только к основанному на решателе подходу. Для обсуждения двух подходов оптимизации смотрите Первый выбор Основанного на проблеме или Основанный на решателе подход.

x = quadprog(H,f) возвращает вектор x который минимизирует 1/2*x'*H*x + f'*x. Область входа H должно быть положительно определено, чтобы задача имела конечный минимум. Если H положительно определено, тогда решение x = H\(-f).

пример

x = quadprog(H,f,A,b) минимизирует 1/2*x'*H*x + f'*x с учетом ограничений A*x ≤ b. Область входа A является матрицей двойников и b является вектором двойных чисел.

пример

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) решает предыдущую задачу с учетом дополнительных ограничений Aeq*x = beq. Aeq является матрицей двойников и beq является вектором двойных чисел. Если неравенства не существует, задайте A = [] и b = [].

пример

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) решает предыдущую задачу с учетом дополнительных ограничений lb ≤ x ≤ ub. Входы lb и ub являются векторами двойных чисел и ограничения сохраняются для каждого x компонент. Если равенств не существует, задайте Aeq = [] и beq = [].

Примечание

Если заданные входные ограничения для задачи несогласованны, выход x является x0 и выходные fval является [].

quadprog сбрасывает компоненты x0 которые нарушают границы lb ≤ x ≤ ub к внутренней части рамки, заданной границами. quadprog не изменяет компоненты, которые соответствуют границам.

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) решает предыдущую задачу, начиная с вектора x0. Если никаких границ не существует, задайте lb = [] и ub = []. Некоторые quadprog алгоритмы игнорируют x0; см. x0.

Примечание

x0 является обязательным аргументом для 'active-set' алгоритм.

пример

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) решает предыдущую задачу, используя опции оптимизации, указанные в options. Использовать optimoptions для создания options. Если вы не хотите давать начальную точку, задайте x0 = [].

пример

x = quadprog(problem) возвращает минимум для problem, структуру, описанную в problem. Создайте problem структура с использованием записи через точку или struct функция. Кроме того, создайте problem структура из OptimizationProblem объект при помощи prob2struct.

пример

[x,fval] = quadprog(___), для любых входных переменных, также возвращается fval, значение целевой функции в x:

fval = 0.5*x'*H*x + f'*x

пример

[x,fval,exitflag,output] = quadprog(___) также возвращается exitflag, целое число, которое описывает выходное условие quadprog, и output, структуру, которая содержит информацию об оптимизации.

пример

[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(___) также возвращается lambda, структуру, поля которой содержат множители Лагранжа в решении x.

пример

[wsout,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,ws) запуски quadprog из данных объекта теплого старта ws, используя опции в ws. Возвращенный аргумент wsout содержит точку решения в wsout.X. При помощи wsout как начальный объект теплого старта в последующем вызове решателя, quadprog может работать быстрее.

Примеры

свернуть все

Квадратичная программа с линейными ограничениями

Открыть Live Script

Найти минимум

$f (x) = \frac{1}{2} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} - 2 x_{1} - 6 x_{2}$

удовлетворяющее ограничениям

$\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} \leq 2 \\ - x_{1} + 2 x_{2} \leq 2 \\ 2 x_{1} + x_{2} \leq 3 . \end{array}$

В quadprog синтаксис, эта проблема состоит в том, чтобы минимизировать

$f (x) = \frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x$ ,

где

$\begin{array}{l} H = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] \\ f = [\begin{matrix} - 2 \\ - 6 \end{matrix}], \end{array}$

удовлетворяющее линейным ограничениям.

Чтобы решить эту задачу, сначала введите матрицы коэффициентов.

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
A = [1 1; -1 2; 2 1];
b = [2; 2; 3];

Функции quadprog.

[x,fval,exitflag,output,lambda] = ...
   quadprog(H,f,A,b);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

Исследуйте конечную точку, значение функции и выходной флаг.

x,fval,exitflag

fval = -8.2222

exitflag = 1

Выходной флаг 1 означает, что результатом является локальный минимум. Потому что H является положительно определенной матрицей, эта задача выпуклая, поэтому минимум является глобальным минимумом.

Подтвердите, что H положительно определено при проверке собственных значений.

eig(H)

ans = 2×1

    0.3820
    2.6180

Квадратичная программа с ограничением линейного равенства

Открыть Live Script

Найти минимум

$f (x) = \frac{1}{2} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} - 2 x_{1} - 6 x_{2}$

удовлетворяющее ограничению

$x_{1} + x_{2} = 0 .$

В quadprog синтаксис, эта проблема состоит в том, чтобы минимизировать

$f (x) = \frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x$ ,

где

$\begin{array}{l} H = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] \\ f = [\begin{matrix} - 2 \\ - 6 \end{matrix}], \end{array}$

удовлетворяющее линейному ограничению.

Чтобы решить эту задачу, сначала введите матрицы коэффициентов.

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
Aeq = [1 1];
beq = 0;

Функции quadprog, ввод [] для входов A и b.

[x,fval,exitflag,output,lambda] = ...
   quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

Исследуйте конечную точку, значение функции и выходной флаг.

x,fval,exitflag

fval = -1.6000

exitflag = 1

Подтвердите, что H положительно определено при проверке собственных значений.

eig(H)

ans = 2×1

    0.3820
    2.6180

Квадратичная минимизация с линейными ограничениями и границами

Открыть Live Script

Найдите x, который минимизирует квадратичное выражение

$\frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x$

где

$H = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 2 \\ 1 & - 2 & 4 \end{matrix}]$ , $f = [\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{matrix}]$ ,

удовлетворяющее ограничениям

$0 \leq x \leq 1$ , $\sum x = 1 / 2$ .

Чтобы решить эту задачу, сначала введите коэффициенты.

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [2;-3;1];
lb = zeros(3,1);
ub = ones(size(lb));
Aeq = ones(1,3);
beq = 1/2;

Функции quadprog, ввод [] для входов A и b.

x = quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq,lb,ub)

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

Квадратичная минимизация с опциями Nondefault

Открыть Live Script

Установите опции, чтобы контролировать прогресс quadprog.

options = optimoptions('quadprog','Display','iter');

Задайте задачу с квадратичной целью и линейными ограничениями неравенства.

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
A = [1 1; -1 2; 2 1];
b = [2; 2; 3];

Чтобы помочь написать quadprog вызов функции, установите ненужные входы равными [].

Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];
x0 = [];

Функции quadprog чтобы решить проблему.

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

 Iter            Fval  Primal Infeas    Dual Infeas  Complementarity  
    0   -8.884885e+00   3.214286e+00   1.071429e-01     1.000000e+00  
    1   -8.331868e+00   1.321041e-01   4.403472e-03     1.910489e-01  
    2   -8.212804e+00   1.676295e-03   5.587652e-05     1.009601e-02  
    3   -8.222204e+00   8.381476e-07   2.793826e-08     1.809485e-05  
    4   -8.222222e+00   3.019807e-14   1.352696e-12     7.525735e-13  

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

Квадратичная задача из `prob2struct`

Открыть Live Script

Создайте problem структура с использованием рабочего процесса оптимизации на основе задач. Создайте задачу оптимизации, эквивалентную Квадратичной Программе с Линейными Ограничениями.

x = optimvar('x',2);
objec = x(1)^2/2 + x(2)^2 - x(1)*x(2) - 2*x(1) - 6*x(2);
prob = optimproblem('Objective',objec);
prob.Constraints.cons1 = sum(x) <= 2;
prob.Constraints.cons2 = -x(1) + 2*x(2) <= 2;
prob.Constraints.cons3 = 2*x(1) + x(2) <= 3;

Преобразование prob в problem структура.

problem = prob2struct(prob);

Решите задачу, используя quadprog.

[x,fval] = quadprog(problem)

Warning: Your Hessian is not symmetric. Resetting H=(H+H')/2.

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

fval = -8.2222

Возврат `quadprog` Значение целевой функции

Открыть Live Script

Решите квадратичную программу и верните как решение, так и значение целевой функции.

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [-7;-12;-15];
A = [1,1,1];
b = 3;
[x,fval] = quadprog(H,f,A,b)

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

fval = -47.1786

Проверяйте, что возвращенное значение целевой функции совпадает со значением, вычисленным из quadprog определение целевой функции.

fval2 = 1/2*x'*H*x + f'*x

fval2 = -47.1786

Исследуйте `quadprog` Процесс оптимизации

Открыть Live Script

Чтобы увидеть процесс оптимизации для quadprogустановите опции, чтобы показать итеративное отображение и вернуть четыре выхода. Задача состоит в том, чтобы минимизировать

$\frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x$

при условии, что

$0 \leq x \leq 1$ ,

где

$H = [\begin{matrix} 2 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & \frac{1}{2} \\ - 1 & \frac{1}{2} & 5 \end{matrix}]$ , $f = [\begin{matrix} 4 \\ - 7 \\ 12 \end{matrix}]$ .

Введите коэффициенты задачи.

H = [2 1 -1
    1 3 1/2
    -1 1/2 5];
f = [4;-7;12];
lb = zeros(3,1);
ub = ones(3,1);

Установите опции, чтобы отобразить итерационный прогресс решателя.

options = optimoptions('quadprog','Display','iter');

Функции quadprog с четырьмя выходами.

[x fval,exitflag,output] = quadprog(H,f,[],[],[],[],lb,ub,[],options)

 Iter            Fval  Primal Infeas    Dual Infeas  Complementarity  
    0    2.691769e+01   1.582123e+00   1.712849e+01     1.680447e+00  
    1   -3.889430e+00   0.000000e+00   8.564246e-03     9.971731e-01  
    2   -5.451769e+00   0.000000e+00   4.282123e-06     2.710131e-02  
    3   -5.499997e+00   0.000000e+00   1.221903e-10     6.939689e-07  
    4   -5.500000e+00   0.000000e+00   5.842173e-14     3.469847e-10  

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

fval = -5.5000

exitflag = 1

output = struct with fields:
            message: '...'
          algorithm: 'interior-point-convex'
      firstorderopt: 1.5921e-09
    constrviolation: 0
         iterations: 4
       linearsolver: 'dense'
       cgiterations: []

Возврат `quadprog` Множители Лагранжа

Открыть Live Script

Решите квадратичную задачу программирования и верните множители Лагранжа.

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [-7;-12;-15];
A = [1,1,1];
b = 3;
lb = zeros(3,1);
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

Исследуйте структуру множителя Лагранжа lambda.

disp(lambda)

    ineqlin: 12.0000
      eqlin: [0x1 double]
      lower: [3x1 double]
      upper: [3x1 double]

Линейное ограничение неравенства имеет связанный множитель Лагранжа 12.

Отображение умножителей, сопоставленных с нижней границей.

disp(lambda.lower)

    5.0000
    0.0000
    0.0000

Только первый компонент lambda.lower имеет ненулевой множитель. Это обычно означает, что только первый компонент x находится в нижней границе нуля. Подтвердите, отобразив компоненты x.

disp(x)

    0.0000
    1.5000
    1.5000

Возврат объекта теплого старта

Для последующей скорости quadprog вызывает, создает теплый стартовый объект.

options = optimoptions('quadprog','Algorithm','active-set');
x0 = [1 2 3];
ws = optimwarmstart(x0,options);

Решите квадратичную программу, используя ws.

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [-7;-12;-15];
A = [1,1,1];
b = 3;
lb = zeros(3,1);
tic
[ws,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb,[],ws);
toc

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
Elapsed time is 0.021717 seconds.

Измените целевую функцию и решите задачу снова.

f = [-10;-15;-20];

tic
[ws,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb,[],ws);
toc

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
Elapsed time is 0.018485 seconds.

Входные параметры

свернуть все

`H` - Квадратичный целевой термин
симметричная действительная матрица

Квадратичный целевой член, заданный как симметричная действительная матрица. H представляет квадратичный вид в выражении 1/2*x'*H*x + f'*x. Если H не симметрично, quadprog выдает предупреждение и использует симметризованную версию (H + H')/2 вместо этого.

Если квадратичная матрица H является разреженным, тогда по умолчанию 'interior-point-convex' алгоритм использует несколько иной алгоритм, чем когда H плотный. Как правило, разреженный алгоритм быстрее при больших, разреженных задачах, а плотный алгоритм быстрее при плотных или небольших задачах. Для получения дополнительной информации смотрите LinearSolver описание опции и алгоритм интерьерно-точечно-выпуклого квадпрога.

Пример: [2,1;1,3]

Типы данных: double

`f` - Линейный целевой термин
вектор действительных чисел

Линейный целевой термин, заданный как вектор действительных чисел. f представляет линейный термин в выражении 1/2*x'*H*x + f'*x.

Пример: [1;3;2]

Типы данных: double

`A` - Линейные ограничения неравенства
действительная матрица

Линейные ограничения неравенства, заданные как действительная матрица. A является M-by- N матрица, где M количество неравенств и N - количество переменных (количество элементов в x0). Для больших задач передайте A как разреженная матрица.

A кодирует M линейное неравенство

A*x <= b,

где x является вектор-столбец N переменные x(:), и b - вектор-столбец с M элементы.

Для примера, чтобы задать

<reservedrangesplaceholder1> 1 + 2 <reservedrangesplaceholder0> 2 10
3 <reservedrangesplaceholder1> 1 + 4 <reservedrangesplaceholder0> 2 20
5 <reservedrangesplaceholder1> 1 + 6 <reservedrangesplaceholder0> 2 30,

введите следующие ограничения:

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

Пример: Чтобы указать, что компоненты x равны 1 или менее, используйте A = ones(1,N) и b = 1.

Типы данных: double

`b` - Линейные ограничения неравенства
вектор действительных чисел

Линейные ограничения неравенства, заданные как вектор действительных чисел. b является M-элементный вектор, относящийся к A матрица. Если вы сдаете b как векторы-строки решатели внутренне преобразуют b в вектор-столбец b(:). Для больших задач передайте b как разреженный вектор.

b кодирует M линейное неравенство

A*x <= b,

где x является вектор-столбец N переменные x(:), и A - матрица размера M-by- N.

Для примера рассмотрим эти неравенства:

Задайте неравенства, введя следующие ограничения.

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

Пример: Чтобы указать, что компоненты x равны 1 или менее, используйте A = ones(1,N) и b = 1.

Типы данных: double

`Aeq` - Линейные ограничения равенства
действительная матрица

Линейные ограничения равенства, заданные как действительная матрица. Aeq является Me-by- N матрица, где Me количество равенств и N - количество переменных (количество элементов в x0). Для больших задач передайте Aeq как разреженная матрица.

Aeq кодирует Me линейные равенства

Aeq*x = beq,

где x является вектор-столбец N переменные x(:), и beq - вектор-столбец с Me элементы.

Для примера, чтобы задать

<reservedrangesplaceholder2> 1 + 2 <reservedrangesplaceholder1> 2 + 3 <reservedrangesplaceholder0> 3 = 10
2 <reservedrangesplaceholder2> 1 + 4 <reservedrangesplaceholder1> 2 + <reservedrangesplaceholder0> 3 = 20,

введите следующие ограничения:

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

Пример: Чтобы указать, что компоненты x равны 1, используйте Aeq = ones(1,N) и beq = 1.

Типы данных: double

`beq` - Линейные ограничения равенства
вектор действительных чисел

Линейные ограничения равенства, заданные как вектор действительных чисел. beq является Me-элементный вектор, относящийся к Aeq матрица. Если вы сдаете beq как векторы-строки решатели внутренне преобразуют beq в вектор-столбец beq(:). Для больших задач передайте beq как разреженный вектор.

beq кодирует Me линейные равенства

Aeq*x = beq,

где x является вектор-столбец N переменные x(:), и Aeq - матрица размера Me-by- N.

Для примера рассмотрим эти равенства:

Задайте равенства путем ввода следующих ограничений.

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

Пример: Чтобы указать, что компоненты x равны 1, используйте Aeq = ones(1,N) и beq = 1.

Типы данных: double

`lb` - Нижние границы
вектор действительных чисел | вещественный массив

Нижние границы, заданные как вектор действительных чисел или вещественный массив. Если количество элементов в x0 равно количеству элементов в lb, затем lb определяет, что

x(i) >= lb(i) для всех i.

Если numel(lb) < numel(x0), затем lb определяет, что

x(i) >= lb(i) для 1 <= i <= numel(lb).

Если элементов меньше в lb чем в x0, решатели выдают предупреждение.

Пример: Чтобы указать, что все компоненты x положительны, используйте lb = zeros(size(x0)).

Типы данных: double

`ub` - Верхние границы
вектор действительных чисел | вещественный массив

Верхние границы, заданные как вектор действительных чисел или действительный массив. Если количество элементов в x0 равно количеству элементов в ub, затем ub определяет, что

x(i) <= ub(i) для всех i.

Если numel(ub) < numel(x0), затем ub определяет, что

x(i) <= ub(i) для 1 <= i <= numel(ub).

Если элементов меньше в ub чем в x0, решатели выдают предупреждение.

Пример: Чтобы указать, что все компоненты x меньше 1, используйте ub = ones(size(x0)).

Типы данных: double

`x0` - Начальная точка
вектор действительных чисел

Начальная точка, заданная как вектор действительных чисел. Длина x0 количество строк или столбцов в H.

x0 применяется к 'trust-region-reflective' алгоритм, когда задача имеет только связанные ограничения. x0 также применяется к 'active-set' алгоритм.

Примечание

x0 является обязательным аргументом для 'active-set' алгоритм.

Если вы не задаете x0, quadprog устанавливает все компоненты x0 до точки внутри рамки, заданной границами. quadprog игнорирует x0 для 'interior-point-convex' алгоритм и для 'trust-region-reflective' алгоритм с ограничениями равенства.

Пример: [1;2;1]

Типы данных: double

`options` - Опции оптимизации
выход `optimoptions` | структуру, такую как `optimset` возвраты

Опции оптимизации, заданные как выход optimoptions или структуру, такую как optimset возвращает.

Некоторые опции отсутствуют в optimoptions отображение. Эти опции выделены курсивом в следующей таблице. Для получения дополнительной информации см. раздел «Опции представления».

Все алгоритмы

`Algorithm`	Выберите алгоритм: `'interior-point-convex'` (по умолчанию) `'trust-region-reflective'` `'active-set'` The `'interior-point-convex'` алгоритм обрабатывает только выпуклые задачи. The `'trust-region-reflective'` алгоритм обрабатывает проблемы только с ограничениями или только с линейными ограничениями равенства, но не с обоими. The `'active-set'` алгоритм обрабатывает неопределенные задачи при условии, что проекция `H` в нулевое пространство `Aeq` положительный полусердинит. Для получения дополнительной информации смотрите Выбор Алгоритма.
Диагностика	Отобразите диагностическую информацию о функции, которая будет минимизирована или решена. Выбор следующий `'on'` или `'off'` (по умолчанию).
`Display`	Level of display (см. Итеративное отображение): `'off'` или `'none'` не отображает выход. `'final'` отображает только окончательный выход (по умолчанию). The `'interior-point-convex'` и `'active-set'` алгоритмы допускают дополнительные значения: `'iter'` задает итеративное отображение. `'iter-detailed'` задает итеративное отображение с подробным выходным сообщением. `'final-detailed'` отображает только окончательный выход с подробным выходным сообщением.
`MaxIterations`	Максимально допустимое количество итераций; положительное целое число. Для `'trust-region-reflective'` задача, ограниченная равенством, значение по умолчанию `2(numberOfVariables – numberOfEqualities)`. `'active-set'` имеет значение по умолчанию `10(numberOfVariables + numberOfConstraints)`. Для всех других алгоритмов и задач значение по умолчанию `200`. Для `optimset`, имя опции `MaxIter`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`OptimalityTolerance`	Допуск прекращения по оптимальности первого порядка; а положительная скалярная величина. Для `'trust-region-reflective'` задача, ограниченная равенством, значение по умолчанию `1e-6`. Для `'trust-region-reflective'` связанная с ограничениями задача, значение по умолчанию `100*eps`, о `2.2204e-14`. Для `'interior-point-convex'` и `'active-set'` алгоритмы, значение по умолчанию `1e-8`. См. «Допуски и критерий остановки». Для `optimset`, имя опции `TolFun`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`StepTolerance`	Допуск завершения на `x`; а положительная скалярная величина. Для `'trust-region-reflective'`, значение по умолчанию является `100*eps`, о `2.2204e-14`. Для `'interior-point-convex'`, значение по умолчанию является `1e-12`. Для `'active-set'`, значение по умолчанию является `1e-8`. Для `optimset`, имя опции `TolX`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».

'trust-region-reflective' Только алгоритм

`FunctionTolerance`	Допуск на разрыв значения функции; а положительная скалярная величина. Значение по умолчанию зависит от типа задачи: использование связанных с ограничениями задач `100*eps`, и использование линейных задач с ограничениями по равенству `1e-6`. См. «Допуски и критерий остановки». Для `optimset`, имя опции `TolFun`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
`HessianMultiplyFcn`	Функция умножения Гессиана, заданная как указатель на функцию. Для крупномасштабных структурированных задач эта функция вычисляет матрицу Гессиана продукта `HY` не образуя фактически `H`. Функция имеет вид W = hmfun(Hinfo,Y) где `Hinfo` (и потенциально некоторые дополнительные параметры) содержат матрицы, используемые для вычисления `HY`. Пример, который использует эту опцию, см. в разделе Квадратичная минимизация с плотным структурированным Гессианом. Для `optimset`, имя опции `HessMult`. См. «Текущие и устаревшие имена опций».
MaxPCGIter	Максимальное количество итераций PCG (предварительно обусловленный сопряженный градиент); а положительная скалярная величина. Значение по умолчанию является `max(1,floor(numberOfVariables/2))` для связанных с ограничениями задач. Для проблем, ограниченных равенством, `quadprog` игнорирует `MaxPCGIter` и использует `MaxIterations` ограничение количества итераций PCG. Для получения дополнительной информации см. «Предварительно обусловленный сопряженный метод градиента».
PrecondBandWidth	Верхняя полоса пропускания предкондиционера для PCG; неотрицательное целое число. По умолчанию, `quadprog` использует диагональное предварительное кондиционирование (верхняя полоса пропускания `0`). Для некоторых проблем увеличение полосы пропускания уменьшает количество итераций PCG. Настройка `PrecondBandWidth` на `Inf` использует прямое факторизация (Холецкий), а не сопряженные градиенты (CG). Прямая факторизация является в вычислительном отношении более дорогой, чем CG, но производит более качественный шаг к решению.
`SubproblemAlgorithm`	Определяет, как вычисляется шаг итерации. Значение по умолчанию, `'cg'`, делает более быстрый, но менее точный шаг, чем `'factorization'`. См. Trust- области отражающий алгоритм квадпрога.
TolPCG	Допуск завершения на итерации PCG; а положительная скалярная величина. Значение по умолчанию является `0.1`.
`TypicalX`	Типичные `x` значения. Количество элементов в `TypicalX` равен количеству элементов в `x0`, а начальная точка. Значение по умолчанию `ones(numberOfVariables,1)`. `quadprog` использует `TypicalX` внутренне для масштабирования. `TypicalX` имеет эффект только тогда, когда `x` имеет неограниченные компоненты, и когда a `TypicalX` значение для неограниченного компонента превышает `1`.

'interior-point-convex' Только алгоритм

ConstraintTolerance

Допуск на нарушение ограничений; а положительная скалярная величина. Значение по умолчанию является 1e-8.

Для optimset, имя опции TolCon. См. «Текущие и устаревшие имена опций».

LinearSolver

Тип внутреннего линейного решателя в алгоритме:

'auto' (по умолчанию) - Использование 'sparse' если H матрица разрежена и 'dense' в противном случае.
'sparse' - Используйте линейную алгебру для разреженных матриц. См. Разреженные матрицы.
'dense' - Используйте плотную линейную алгебру.

'active-set' Только алгоритм

ConstraintTolerance

Допуск на нарушение ограничений; а положительная скалярная величина. Значение по умолчанию 1e-8.

Для optimset, имя опции TolCon. См. «Текущие и устаревшие имена опций».

ObjectiveLimit

Допуск (критерий остановки), который является скаляром. Если значение целевой функции идет ниже ObjectiveLimit и текущая точка является допустимой, итерации останавливаются, потому что задача неограниченна, предположительно. Значение по умолчанию -1e20.

`problem` - Структура задачи
структура

Структура задачи, заданная как структура с этими полями:

`H`	Симметричная матрица в `1/2x'H*x`
`f`	Вектор в линейном выражении `f'*x`
`Aineq`	Матрица в линейных ограничениях неравенства `Aineq*x` ≤ `bineq`
`bineq`	Вектор в линейных ограничениях неравенства `Aineq*x` ≤ `bineq`
`Aeq`	Матрица в линейных ограничениях равенства `Aeq*x = beq`
`beq`	Вектор в линейных ограничениях равенства `Aeq*x = beq`
`lb`	Вектор нижних границ
`ub`	Вектор верхних границ
`x0`	Начальная точка для `x`
`solver`	`'quadprog'`
`options`	Опции, созданные с помощью `optimoptions` или `optimset`

Требуемые поля H, f, solver, и options. При решении quadprog игнорирует любые поля в problem кроме перечисленных.

Примечание

Вы не можете использовать теплый старт с problem аргумент.

Типы данных: struct

`ws` - Объект теплого запуска
объект, созданный с помощью `optimwarmstart`

Теплый стартовый объект, заданный как объект, созданный с помощью optimwarmstart. Объект теплого запуска содержит начальную точку и опции, а также необязательные данные для размера памяти при генерации кода. Смотрите Лучшие Практики Теплого Старта.

Пример: ws = optimwarmstart(x0,options)

Выходные аргументы

свернуть все

`x` - Решение
вектор действительных чисел

Решение, возвращенное как вектор действительных чисел. x - вектор, который минимизирует 1/2*x'*H*x + f'*x удовлетворяющее всем границам и линейным ограничениям. x может быть локальным минимумом для неконвексных задач. Для выпуклых задач, x является глобальным минимумом. Для получения дополнительной информации смотрите Локальный и Глобальный оптимумы.

`wsout` - Решение теплого стартового объекта
`QuadprogWarmStart` объект

Решение теплый стартовый объект, возвращенный как QuadprogWarmStart объект. Точка решения wsout.X.

Можно использовать wsout как вход теплый начальный объект в последующем quadprog вызов.

`fval` - Значение целевой функции в решении
действительный скаляр

Значение целевой функции в решении, возвращаемое как действительный скаляр. fval - значение 1/2*x'*H*x + f'*x в решении x.

`exitflag` - Причины `quadprog` остановленный
целое число

Причины quadprog stop, возвращается как целое число, описанное в этой таблице.

Все алгоритмы
`1`	Функция сходится к решению `x`.
`0`	Превышено количество итераций `options.MaxIterations`.
`-2`	Проблема недопустима. Или, для `'interior-point-convex'`размер шага был меньше `options.StepTolerance`, но ограничения не были удовлетворены.
`-3`	Задача неограниченна.
`'interior-point-convex'` Алгоритм
`2`	Размер шага был меньше `options.StepTolerance`, ограничения были удовлетворены.
`-6`	Обнаружена неконвексная проблема.
`-8`	Не удается вычислить направление шага.
`'trust-region-reflective'` Алгоритм
`4`	Локальный минимум найден; минимум не является уникальным.
`3`	Изменение значения целевой функции было меньше `options.FunctionTolerance`.
`-4`	Текущее направление поиска не было направлением спуска. Дальнейшего прогресса достичь не удалось.
`'active-set'` Алгоритм
`-6`	Обнаружена неконвексная проблема; проекция `H` в нулевое пространство `Aeq` не является положительным полуопределенным.

Примечание

Иногда, 'active-set' алгоритм останавливается с выходным флагом 0 когда проблема, по сути, неограниченна. Установка более высокого предела итерации также приводит к выходному флагу 0.

`output` - Информация о процессе оптимизации
структура

Информация о процессе оптимизации, возвращенная как структура с этими полями:

`iterations`	Количество проделанных итераций
`algorithm`	Используемый алгоритм оптимизации
`cgiterations`	Общее количество итераций PCG (`'trust-region-reflective'` только алгоритм)
`constrviolation`	Максимум ограничительных функций
`firstorderopt`	Мера оптимальности первого порядка
`linearsolver`	Тип внутреннего линейного решателя, `'dense'` или `'sparse'` (`'interior-point-convex'` только алгоритм)
`message`	Выходное сообщение

`lambda` - множители Лагранжа в решении
структура

Множители Лагранжа в решении, возвращенные как структура с этими полями:

`lower`	Нижние границы `lb`
`upper`	Верхние границы `ub`
`ineqlin`	Линейное неравенство
`eqlin`	Линейные равенства

Для получения дополнительной информации смотрите Множитель Лагранжа Structures.

Алгоритмы

свернуть все

`'interior-point-convex'`

The 'interior-point-convex' алгоритм пытается следовать по пути, который строго находится внутри ограничений. Он использует модуль prevolve, чтобы удалить избыточности и упростить задачу, решая для простых компонентов.

Алгоритм имеет различные реализации для разреженной Гессианской матрицы H и для плотной матрицы. Как правило, разреженная реализация происходит быстрее при больших, разреженных задачах, а плотная реализация быстрее при плотных или небольших задачах. Для получения дополнительной информации см. Interior-point-condex quadprog Algorithm.

`'trust-region-reflective'`

The 'trust-region-reflective' алгоритм является подпространственным методом доверительной области, основанным на внутренне-отражающем методе Ньютона, описанном в [1]. Каждая итерация включает приблизительное решение большой линейной системы с использованием метода предварительно обусловленных сопряженных градиентов (PCG). Для получения дополнительной информации см. Trust- области отражающий алгоритм квадпрога .

`'active-set'`

The 'active-set' алгоритм является проекционным методом, подобным описанному в [2]. Алгоритм не является масштабным; см. «Алгоритмы большого и среднего масштаба». Для получения дополнительной информации смотрите активный набор quadprog Algorithm.

Теплый старт

Объект теплого запуска поддерживает список активных ограничений из предыдущей решенной задачи. Решатель несет как можно больше активной информации о ограничениях, чтобы решить текущую задачу. Если предыдущая задача слишком отличается от текущей, никакая информация об активном наборе не используется повторно. В этом случае решатель эффективно выполняет холодный запуск в порядок, чтобы перестроить список активных ограничений.

Альтернативная функциональность

Приложение

Задача Optimize Live Editor обеспечивает визуальный интерфейс для quadprog.

Ссылки

[1] Коулман, Т. Ф. и Я. Ли. Отражающий метод Ньютона для минимизации квадратичной функции, удовлетворяющей границам некоторых переменных. SIAM Journal по оптимизации. Том 6, № 4, 1996, стр. 1040-1058.

[2] Гилл, П. Е., У. Мюррей и М. Х. Райт. Практическая оптимизация. Лондон: Академическая пресса, 1981.

[3] Gould, N., and P. L. Toint. Предварительная обработка для квадратичного программирования. Математическое программирование. Серия B, том 100, 2004, стр. 95-132.

Расширенные возможности

Генерация кода C/C + +
Сгенерируйте код C и C++ с помощью Coder™ MATLAB ®

Указания и ограничения по применению:

Для получения примера смотрите Сгенерировать код для quadprog.

См. также

Темы

Представлено до R2006a

Документация

quadprog

Синтаксис

Описание

Примеры

Квадратичная программа с линейными ограничениями

Квадратичная программа с ограничением линейного равенства

Квадратичная минимизация с линейными ограничениями и границами

Квадратичная минимизация с опциями Nondefault

Квадратичная задача из prob2struct

Возврат quadprog Значение целевой функции

Исследуйте quadprog Процесс оптимизации

Возврат quadprog Множители Лагранжа

Возврат объекта теплого старта

Входные параметры

H - Квадратичный целевой термин симметричная действительная матрица

f - Линейный целевой термин вектор действительных чисел

A - Линейные ограничения неравенства действительная матрица

b - Линейные ограничения неравенства вектор действительных чисел

Aeq - Линейные ограничения равенства действительная матрица

beq - Линейные ограничения равенства вектор действительных чисел

lb - Нижние границы вектор действительных чисел | вещественный массив

ub - Верхние границы вектор действительных чисел | вещественный массив

x0 - Начальная точка вектор действительных чисел

options - Опции оптимизации выход optimoptions | структуру, такую как optimset возвраты

problem - Структура задачи структура

ws - Объект теплого запуска объект, созданный с помощью optimwarmstart

Выходные аргументы

x - Решение вектор действительных чисел

wsout - Решение теплого стартового объекта QuadprogWarmStart объект

fval - Значение целевой функции в решении действительный скаляр

exitflag - Причины quadprog остановленный целое число

output - Информация о процессе оптимизации структура

lambda - множители Лагранжа в решении структура

Алгоритмы

'interior-point-convex'

'trust-region-reflective'

'active-set'

Теплый старт

Альтернативная функциональность

Приложение

Ссылки

Расширенные возможности

Генерация кода C/C + + Сгенерируйте код C и C++ с помощью Coder™ MATLAB ®

См. также

Темы

Документация по Optimization Toolbox

Поддержка

Квадратичная задача из `prob2struct`

Возврат `quadprog` Значение целевой функции

Исследуйте `quadprog` Процесс оптимизации

Возврат `quadprog` Множители Лагранжа

`H` - Квадратичный целевой термин
симметричная действительная матрица

`f` - Линейный целевой термин
вектор действительных чисел

`A` - Линейные ограничения неравенства
действительная матрица

`b` - Линейные ограничения неравенства
вектор действительных чисел

`Aeq` - Линейные ограничения равенства
действительная матрица

`beq` - Линейные ограничения равенства
вектор действительных чисел

`lb` - Нижние границы
вектор действительных чисел | вещественный массив

`ub` - Верхние границы
вектор действительных чисел | вещественный массив

`x0` - Начальная точка
вектор действительных чисел

`options` - Опции оптимизации
выход `optimoptions` | структуру, такую как `optimset` возвраты

`problem` - Структура задачи
структура

`ws` - Объект теплого запуска
объект, созданный с помощью `optimwarmstart`

`x` - Решение
вектор действительных чисел

`wsout` - Решение теплого стартового объекта
`QuadprogWarmStart` объект

`fval` - Значение целевой функции в решении
действительный скаляр

`exitflag` - Причины `quadprog` остановленный
целое число

`output` - Информация о процессе оптимизации
структура

`lambda` - множители Лагранжа в решении
структура

`'interior-point-convex'`

`'trust-region-reflective'`

`'active-set'`

Генерация кода C/C + +
Сгенерируйте код C и C++ с помощью Coder™ MATLAB ®