bstmr

Сбалансированное усечение стохастической модели (BST) методом Шура

Синтаксис

GRED = bstmr(G)
GRED = bstmr(G,order)
[GRED,redinfo] = bstmr(G,key1,value1,...)
[GRED,redinfo] = bstmr(G,order,key1,value1,...)

Описание

bstmr возвращает модель пониженного порядка GRED от G и массив структур redinfo содержащий границу ошибок редуцированной модели и сингулярные значения Ханкеля фазовой матрицы исходной системы [2].

Граница ошибки вычисляется на основе сингулярных значений Ханкеля фазы матрицы G. Для стабильной системы эти значения указывают соответствующую энергию состояния системы. Следовательно, пониженный порядок может быть непосредственно определен путем исследования этих значений.

С одним только входным параметром Gфункция покажет график сингулярного значения Ханкеля матрицы фазы G и подсказка для уменьшения количества порядков модели.

Этот метод гарантирует ограничение ошибки на норме по бесконечности мультипликативного ∥ GRED– 1 (G-GRED) ∥ ∞ или относительная погрешность ∥ G^-– 1 (G-GRED) ∥ ∞ для хорошо обусловленных задач снижения сложности модели [1]:

${‖ G^{- 1} (G - G r e d) ‖}_{\infty} \leq \prod_{k + 1}^{n} (1 + 2 σ_{i} (\sqrt{1 + σ_{i}^{2}} + σ_{i})) - 1$

Эта таблица описывает входные параметры для bstmr.

Аргумент	Описание
`G`	Модель LTI будет уменьшена (без каких-либо других входов будет строиться график ее сингулярных значений Ханкеля и подсказка для пониженного порядка)
`ORDER`	(Необязательно) целое число для желаемого порядка уменьшенной модели или вектор желаемых порядков для пакетных запусков

Пакетный запуск последовательного набора различных моделей пониженного порядка может быть сгенерирован путем определения order = x:y, или вектор из целых чисел. По умолчанию вся антистабильная часть системы сохранена, потому что с точки зрения стабильности контроля, избавление от нестабильного состояния (состояний) опасно, чтобы смоделировать систему.

'MaxError' может быть задано так же, как альтернатива для 'ORDER'. В этом случае уменьшенный порядок будет определен, когда накопленный продукт сингулярных значений Ханкеля, показанных в вышеописанном уравнении, достигает 'MaxError'.

Аргумент	Значение	Описание
`'MaxError'`	Действительное число или вектор различных ошибок	Уменьшите, чтобы добиться H ∞ ошибки. Когда присутствует, `'``MaxError``'` переопределяет `ORDER` вход.
`'Display'`	`'on'` или `'off'`	Отобразите сингулярные графики Ханкеля (по умолчанию `'off'`).
`'Order'`	Целое число, вектор или массив ячеек	Порядок уменьшенной модели. Используйте только, если не задан как второй аргумент.

Аргумент

Значение

Описание

'MaxError'

Действительное число или вектор различных ошибок

Уменьшите, чтобы добиться H ∞ ошибки.

Когда присутствует, 'MaxError' переопределяет ORDER вход.

'Display'

'on' или 'off'

Отобразите сингулярные графики Ханкеля (по умолчанию 'off').

'Order'

Целое число, вектор или массив ячеек

Порядок уменьшенной модели. Используйте только, если не задан как второй аргумент.

Эта таблица описывает выходные аргументы.

Аргумент	Описание
`GRED`	Модель пониженного порядка LTI. Станьте многомерным массивом, когда вход является последовательным номером другого массива порядка модели.
`REDINFO`	A Массива структур с тремя полями: `REDINFO.ErrorBound` (граница ∥ G^–1(G-GRED) ∥∞) `REDINFO.StabSV` (Hankel SV стабильной части G) `REDINFO.UnstabSV` (Hankel SV нестабильной части G)

G может быть стабильным или нестабильным, непрерывным или дискретным.

Примечание

bstmr основана на balred.

Примеры

Учитывая непрерывную или дискретную, стабильную или нестабильную систему, Gследующие команды могут получить набор моделей пониженного порядка на основе выбранных вами вариантов:

rng(1234,'twister'); 
G = rss(30,5,4);
G.D = zeros(5,4);
[g1, redinfo1] = bstmr(G); % display Hankel SV plot 
                           % and prompt for order (try 15:20)
[g2, redinfo2] = bstmr(G,20); 
[g3, redinfo3] = bstmr(G,[10:2:18]);
[g4, redinfo4] = bstmr(G,'MaxError',[0.01, 0.05]);
for i = 1:4
    figure(i)
	eval(['sigma(G,g' num2str(i) ');']);
end

Алгоритмы

Учитывая пространство состояний (A,B,C,D) системы и k, желаемый пониженный порядок, следующие шаги произведут преобразование подобия, чтобы обрезать исходную систему в пространстве состояний к^th упорядочить уменьшенную модель.

Найдите управляемость grammian <reservedrangesplaceholder5> и наблюдаемость grammian <reservedrangesplaceholder4> левого спектрального фактора Φ = Γ (<reservedrangesplaceholder3>) Γ* (-σ) = Ω* (-σ) Ω (<reservedrangesplaceholder0>), решив следующие уравнения Ляпунова и Риккати
AP + PA^T + BB^T = 0
_BW = PC^T + BD^T
QA + A^T _{Q + (QBW} - C^T) (-DD^T_{) (QBW} - C^T)^T = 0
Найдите разложение Шура для PQ как в порядке возрастания, так и в порядке убывания, соответственно,
$\begin{array}{l} V_{A}^{T} P Q V_{A} = [\begin{matrix} λ_{1} & \dots & \dots \\ 0 & \dots & \dots \\ 0 & 0 & λ_{n} \end{matrix}] \\ V_{D}^{T} P Q V_{D} = [\begin{matrix} λ_{n} & \dots & \dots \\ 0 & \dots & \dots \\ 0 & 0 & λ_{1} \end{matrix}] \end{array}$
Найдите левое/правое ортонормальное собственное основание PQ, сопоставленное с k^th большие сингулярные значения Ханкеля универсального phase matrix (W^*(s))^–1G(s).
k
$\begin{array}{l} V_{A} = [V_{R, S M A L L}, \overset{k}{\overset{︷}{V_{L, B I G}}}] \\ V_{D} = [\overset{}{\overset{︷}{V_{R, B I G}}}, V_{L, S M A L L}] \end{array}$
Поиск SVD (V)^T_L,BIG _VR,BIG) = U
Сформируйте преобразование слева/справа для последнего k^th упорядочить уменьшенную модель
_{SL,BIG = VL,BIG} U, (1: k, 1: k)^–½
_{SR,BIG = VR,BIG} V, (1: k, 1: k)^–½
Наконец,

$[\begin{matrix} \hat{A} & \hat{B} \\ \hat{C} & \hat{D} \end{matrix}] = [\begin{matrix} S_{L, B I G}^{T} A S_{R, B I G} & S_{L, B I G}^{T} B \\ C S_{R, B I G} & D \end{matrix}]$

Доказательство алгоритма Schur BST можно найти в [1].

Примечание

Теория снижения сложности модели BST требует, чтобы исходная модель D матрица были полными рангами, поскольку в противном случае решатель Риккати терпит неудачу. Для любой задачи со строго правильной моделью можно переместить j ω ось через bilin таким образом, что приближение BST/REM может быть достигнута до определенной частотной области значений интересов. Кроме того, можно прикрепить небольшую, но полную матрицу ранга D к исходной задаче, но после этого удалить D матрицу модели пониженного порядка. Пока размер матрицы D незначителен внутри полосы пропускания управления, модель пониженного порядка должна быть довольно близка к истинной модели. По умолчанию в bstmr программа присвоит полную ранговую матрицу D, масштабированную на 0,001 минимального собственного значения исходной модели, если ее D матрица не является полной рангом для начала. Это служит цели для большинства проблем, если пользователь не хочет проходить через проблему предтрансформации модели.

Ссылки

[1] Zhou, K., «Frequency-weated снижение сложности модели with L∞ error bounds», System. Contr. Lett., Vol. 21, 115-125, 1993.

[2] Safonov, M.G., and R.Y. Chiang, «Снижение сложности модели for Robust Control: A Schur Относительной погрешности Method», International J. of Adaptive Control and Signal Processing, Vol. 2, p. 259-272, 1988.

См. также

Представлено до R2006a

Документация

bstmr

Синтаксис

Описание

Примеры

Алгоритмы

Ссылки

См. также

Документация по Robust Control Toolbox

Поддержка