В данном примере используйте график сингулярного значения Ханкеля, чтобы выбрать подходящий порядок и вычислить модель пониженного порядка.

Для этого образца сгенерируйте случайную модель пространства состояний в дискретном времени с 40 состояниями.

rng(0)
sys = drss(40);

Постройте график сингулярных значений Ханкеля с помощью balred.

balred(sys)

В данном примере выберите порядок 16 поскольку это первый порядок с абсолютной ошибкой меньше 1e-4. В целом, вы выбираете порядок на основе желаемой абсолютной или относительной точности. Затем вычислите модель пониженного порядка.

rsys = balred(sys,16);

Проверьте абсолютную ошибку, построив график сингулярного значения отклика с помощью sigma.

sigma(sys,sys-rsys)

На графике заметьте, что ошибка, представленная красной кривой, ниже -80 dB (1e-4).

В данном примере рассмотрим случайную модель пространства состояний в непрерывном времени с 65 состояниями.

rng(0)
sys = rss(65);
size(sys)

State-space model with 1 outputs, 1 inputs, and 65 states.

Визуализируйте сингулярные значения Ханкеля на графике.

balred(sys)

Для этого образца вычислите модели пониженного порядка с 25, 30 и 35 состояниями.

order = [25,30,35];
rsys = balred(sys,order);
size(rsys)

3x1 array of state-space models.
Each model has 1 outputs, 1 inputs, and between 25 and 35 states.

Вычислите аппроксимацию системы в пониженном порядке, заданную:

Создайте модель.

sys = zpk([-0.5 -1.1 -2.9],[-1e-6 -2 -1 -3],1);

Исключить полюс в $$s=10^{-6}$$ от стабильного срока стабильного/нестабильного разложения. Для этого установите Offset опция balredOptions к значению, большему, чем полюс, который вы хотите исключить.

opts = balredOptions('Offset',0.001,'StateProjection','Truncate');

Визуализируйте сингулярные значения Ханкеля (HSV) и ошибку приближения.

balred(sys,opts)

Заметьте, что первый HSV является красным, что указывает на то, что он связан с нестабильным режимом.

Теперь вычислите приближение второго порядка с заданными опциями.

[rsys,info] = balred(sys,2,opts);
rsys

rsys =
 
  0.99113 (s+0.5235)
  -------------------
  (s+1e-06) (s+1.952)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

Заметьте, что полюс в -1e-6 появляется неизменным в уменьшенной модели rsys.

Сравните отклики исходной и модели пониженного порядка.

bodeplot(sys,rsys,'r--')

Заметьте, что bode-реакция исходной модели и модели пониженного порядка почти совпадает.

Уменьшите модель высокого порядка с особым вниманием на динамику в конкретной частотной области значений.

Загрузите модель и исследуйте ее частотную характеристику.

load('highOrderModel.mat','G')
bodeplot(G)

G является моделью 48-го порядка с несколькими большими пиковыми областями около 5,2 рад/с, 13,5 рад/с и 24,5 рад/с и меньшим peaks, разбросанными по многим частотам. Предположим, что для вашего приложения вас интересует только динамика около второго большого пика, между 10 рад/с и 22 рад/с. Фокусируйте снижение сложности модели на необходимую область, чтобы получить хороший матч с аппроксимацией младшим порядком. Использование balredOptions чтобы задать частотный интервал для balred.

bopt = balredOptions('StateProjection','Truncate','FreqIntervals',[10,22]);
GLim10 = balred(G,10,bopt);
GLim18 = balred(G,18,bopt);

Исследуйте частотные характеристики моделей пониженного порядка. Кроме того, исследуйте различие между этими ответами и исходным ответом (абсолютная ошибка).

subplot(2,1,1);
bodemag(G,GLim10,GLim18,logspace(0.5,1.5,100));
title('Bode Magnitude Plot')
legend('Original','Order 10','Order 18');
subplot(2,1,2);
bodemag(G-GLim10,G-GLim18,logspace(0.5,1.5,100));
title('Absolute Error Plot')
legend('Order 10','Order 18');

С ограниченной по частоте энергетического расчета даже аппроксимация 10-го порядка довольно хороша в необходимую область.

В данном примере рассмотрим модель пространства состояний SISO cdrom со 120 состояниями. Можно использовать абсолютное или относительная погрешность управление при аппроксимации моделей с balred. Этот пример сравнивает два подхода при применении к модели 120 состояний портативного устройства проигрывателя компакт-дисков crdom [1,2].

Загрузите модель CD-проигрывателя cdrom.

load cdromData.mat cdrom
size(cdrom)

State-space model with 1 outputs, 1 inputs, and 120 states.

Чтобы сравнить результаты с абсолютным и относительная погрешность управлением, создайте один набор опций для каждого подхода.

opt_abs = balredOptions('ErrorBound','absolute','StateProjection','truncate');
opt_rel = balredOptions('ErrorBound','relative','StateProjection','truncate');

Вычислите модели пониженного порядка порядка 15 с обоими подходами.

rsys_abs = balred(cdrom,15,opt_abs);
rsys_rel = balred(cdrom,15,opt_rel);
size(rsys_abs)

State-space model with 1 outputs, 1 inputs, and 15 states.

size(rsys_rel)

State-space model with 1 outputs, 1 inputs, and 15 states.

Постройте график отклика Боде исходной модели вместе с моделями с пониженными абсолютной ошибками и относительными погрешностями.

bo = bodeoptions; 
bo.PhaseMatching = 'on';
bodeplot(cdrom,'b.',rsys_abs,'r',rsys_rel,'g',bo)
legend('Original (120 states)','Absolute Error (15 states)','Relative Error (15 states)')

Заметьте, что ответ Боде: