H ∞ оптимальный синтез контроллера для объекта LTI
[K,CL,GAM,INFO]=loopsyn(G,Gd) [K,CL,GAM,INFO]=loopsyn(G,Gd,RANGE)
loopsyn является H ∞ оптимальным методом для синтеза петлевого управления. Он вычисляет H стабилизирующего ∞ K контроллера для G объекта, чтобы сформировать sigma график передаточной функции цикла GK, чтобы иметь необходимую форму цикла Gd с точностью γ = GAM в том смысле, что если ω 0 является частотой пересечения 0 db sigma график Gd (j ω), затем, ориентировочно,
| (1) |
| (2) |
Область Массива структур INFO возвращает дополнительную проектную информацию, включая MIMO стабильный W предварительного фильтра формирования мин-фазы, фасонный объект Gs = GW, контроллер для формованного объекта Ks = WK, а также частотная область значений {ω min, ω max}, над которым достигается формирование цикла
Входной параметр | Описание |
|---|---|
G | Объект LTI |
Gd | Желаемая циклическая форма (модель LTI) |
RANGE | (необязательно, по умолчанию |
Выходной аргумент | Описание |
|---|---|
K | LTI- контроллера |
CL= G*K/(I+GK) | Система с обратной связью LTI |
GAM | Точность формирования контура ( |
INFO | Дополнительная выходная информация |
INFO.W | предварительный фильтр LTI W удовлетворяющий σ (Gd) = σ (GW) для всех ω; W всегда минимальная фаза. |
INFO.Gs | LTI-образный объект: Gs = GW. |
INFO.Ks | LTI- контроллера для формованного объекта: K = WKs. |
INFO.range | {ω min, ω max} массив ячеек, содержащий приблизительную частотную область значений, по которому формирование контура может быть точно достигнуто с |
Вычислите оптимальную loopsyn управление формированием цикла для объекта с 5 состояниями, 4 выходами, 5 входами с полным рангом неминумного нуля фазы при s = 10.
rng(0,'twister'); s = tf('s'); w0 = 5; Gd = 5/s; % desired bandwidth w0=5 G =((s-10)/(s+100))*rss(3,4,5); % 4-by-5 non-min-phase plant [K,CL,GAM,INFO] = loopsyn(G,Gd); sigma(G*K,'r',Gd*GAM,'k-.',Gd/GAM,'k-.',{.1,100}) % plot result legend('G*K','Gd*GAM','Gd/GAM')
Этот график показывает, что контроллер K оптимально подходит sigma(G*K). Контроллер падает между sigma(Gd)+ GAM и sigma(Gd)- GAM (выражается в дБ). В этом примере GAM = 2.0423 = 6.2026 дБ.
Объект G должен быть стабилизируемым и обнаруживаемым, должен иметь как минимум столько входов, сколько выходы, и должен быть полным рангом; т.е.,
size(G,2) ≥ size(G,1)
rank(freqresp(G,w)) = size(G,1) для некоторой частоты w.
Порядок расположения K контроллера может быть большим. В целом, когда Gd задается как SISO LTI, то порядок <reservedrangesplaceholder1> контроллера K удовлетворяет
NK = NGs + NW
= <reservedrangesplaceholder3> <reservedrangesplaceholder2> + NRHP + NW
= <reservedrangesplaceholder3> <reservedrangesplaceholder2> + NRHP + NG
где
Ny обозначает количество выходов заводской G.
NRHP обозначает общее количество нестационарных полюсов и неминимумно-фазовых нулей растительных G, включая нули на контуре устойчивости и в бесконечности.
NG, NGs, NGd и NW обозначают соответствующие порядки <reservedrangesplaceholder2> <reservedrangesplaceholder1> и W.
Снижение сложности модели может помочь уменьшить порядок K - см. reduce и ncfmr.
Используя формулу GCD Le и Safonov [1], loopsyn сначала вычисляет стандартный фильтр, формирующий контур с минимальной фазой W таким образом, чтобы формованное растение Gs = GW было квадратным, и требуемая Gd формы достигалась с хорошей точностью в частотной области значений {ω min, ω max} формованным объектом; т.е.
σ (Gd) ≈ σ (Gs) для всех ω ∊ {ω min, ω max}.
Затем, loopsyn использует теорию синтеза нормализованного-простого фактора Гловера-Макфарлейна [2] для вычисления оптимального контроллера «формирования контура» для формованного объекта посредством Ks=ncfsyn(Gs), and возвращает K=W*Ks.
Если G объекта является непрерывным LTI и
G имеет D-матрицу полного ранга, и
нет конечных нулей на j ω оси и
{ω мин, ω max} = [0, ∞],
затем GW теоретически достигает совершенной точности подгонки σ (Gd) = σ (GW) для всех частотных ω. В противном случае loopsyn использует билинейное билинейное преобразование [3] типа со сдвигом полюсов
Gshifted=bilin(G,-1,'S_Tust',[ωmin,ωmax]),
что приводит к идеальной подгонке для трансформированных Gshifted и приблизительная подгонка на меньшей частотной области значений [ω min, ω max] для исходной нешифрованной G при условии, что ω max > > ω min. Для наилучших результатов вы должны выбрать ω max, чтобы быть по крайней мере в 100 раз больше, чем ω мин. В некоторых случаях расчет оптимального W для Gshifted может быть сингулярным или плохо обусловленным для области значений [ω min, ω max], как когда Gshifted имеет расшатанные нули или, только в случае непрерывного времени, Gshifted имеет D -матрицу, которая является недостаточной по рангу); в таких случаях loopsyn автоматически уменьшает область значений частоты дальше и возвращает уменьшенную область значений [ω min, ω max] как массив ячеек в выход INFO.range={ω мин, ω max}
[1] Ле, В.Х., и М.Г. Сафонов. Рациональные матричные GCD и проект квадратурных компенсаторов - теории пространства состояний. IEEE Trans. Autom.Control, AC-36 (3): 384-392, март 1992.
[2] Гловер, К. и Д. Макфарлейн. Устойчивая стабилизация нормализованных описаний объектов с H∞-bounded неопределенностью. IEEE Trans. Autom. Управление, AC-34 (8): 821-830, Август 1992.
[3] Chiang, R.Y., and M.G. Safonov. H∞ синтез с использованием билинейного преобразования сдвига полюсов. AIAA J. Руководство, контроль и динамика, 15 (5):1111-1115, сентябрь-октябрь 1992 .
