Управление системой пружина-масса-демпфер с помощью смешанного синтеза Mu
Этот пример показывает, как выполнить смешанный синтез с musyn команда в Robust Control Toolbox™. Вот musyn используется для создания устойчивого контроллера для двухмассовой пружинно-демпферной системы с неопределенностью в жесткости пружины, соединяющей две массы. Этот пример взят из документа «Робастный смешанный синтез эффективности для системы масса-пружина с неопределенностью жесткости», Д. Баррос, С. Фекри и М. Афаны, Средиземноморская конференция по контролю 2005 года.
Эффективность Спецификаций
Рассмотрим систему масса-пружина-демпфер на фигуре 1. Пружинные k2 и демпферные b2 присоединены к стенке и массе m2. Массовые m2 также присоединен к массе m1 через пружину k1 и демпферные b1. Масса 2 зависит от силы нарушения порядка f2. Система управляется силой f1 воздействуя на массовые m1.
Наша цель проекта - использовать силу управления f1 для ослабления эффекта нарушения порядка f2 о положении масс m2. Сила f1 не влияет непосредственно на массу m2, скорее он действует через жесткость пружины k1. Отсюда и любая неопределенность в весенней жесткости k1 сделает задачу управления более сложной. Задача управления сформулирована как:
Контроллер измеряет шумное перемещение массы
m2и применяет управляющую силуf1. Шум датчика,Wn, моделируется как константа 0,001.
Команда привода штрафуется коэффициентом 0,1 на низкой частоте и фактором 10 на высокой частоте с частотой среза 100 рад/с (фильтр
Wu).
Единичная величина, фильтр раскраски первого порядка,
Wdist, на нарушении порядка имеет полюс на 0,25 рад/с.
Цель эффективности состоит в том, чтобы ослабить нарушение порядка на массе
m2в 80 раз ниже 0,1 рад/с.
Номинальные значения системных параметров m1=1, m2=2, k2=1, b1=0.05, b2=0.05, и k1=2.
Wn = tf(0.001); Wu = 10*tf([1 10],[1 1000]); Wdist = tf(0.25,[1 0.25],'inputname','dist','outputname','f2'); Wp = 80*tf(0.1,[1 0.1]); m1 = 1; m2 = 2; k2 = 1; b1 = 0.05; b2 = 0.05;
Моделирование неопределенности
Значение жесткости пружины k1 является неопределенным. Он имеет номинальное значение 2, и его значение может варьироваться между 1,2 и 2,8.
k1 = ureal('k1',2,'Range',[1.2 2.8]);
Существует также задержка по времени tau между командной силой привода f1 и его применение к массовым m1. Максимальная задержка составляет 0,06 секунды. Пренебрежение этой временной задержкой вводит мультипликативную ошибку exp(-s*tau)-1. Эта ошибка может быть расценена как немоделированная динамика, ограниченная по величине высокочастотным фильтром Wunmod = 2.6*s/(s + 40):
tau = ss(1,'InputDelay',0.06); Wunmod = 2.6*tf([1 0],[1 40]); bodemag(tau-1,Wunmod,logspace(0,3,200)); title('Multiplicative Time-Delay Error: Actual vs. Bound') legend('Actual','Bound','Location','NorthWest')
Создайте модель объекта с неопределенным пространством состояний с помощью силы управления f1 и нарушения порядка f2 в качестве входов.
a1c = [0 0 -1/m1 1/m2]'*k1;
a2c = [0 0 1/m1 -1/m2]'*k1 + [0 0 0 -k2/m2]';
a3c = [1 0 -b1/m1 b1/m2]';
a4c = [0 1 b1/m1 -(b1+b2)/m2]';
A = [a1c a2c a3c a4c];
plant = ss(A,[0 0;0 0;1/m1 0;0 1/m2],[0 1 0 0],[0 0]);
plant.StateName = {'z1';'z2';'z1dot';'z2dot'};
plant.OutputName = {'z2'};
Добавьте динамику немодулированной задержки на первом входе объекта.
Delta = ultidyn('Delta',[1 1]); plant = plant * append(1+Delta*Wunmod,1); plant.InputName = {'f1','f2'};
Постройте график характеристики Bode от f1 до z2 для 20 выборочных значений неопределенности. Неопределенность в значении k1 вызывает колебания собственных частот режимов объекта.
bode(plant(1,1),{0.1,4})
Проектирование системы управления
Мы используем следующую структуру для синтеза контроллера:
Фигура 2
Использование connect чтобы создать соответствующее межсоединение без разомкнутого контура IC. Обратите внимание, что IC является неопределенной моделью с неопределенными переменными k1 и Delta.
Wu.u = 'f1'; Wu.y = 'Wu'; Wp.u = 'z2'; Wp.y = 'Wp'; Wn.u = 'noise'; Wn.y = 'Wn'; S = sumblk('z2n = z2 + Wn'); IC = connect(plant,Wdist,Wu,Wp,Wn,S,{'dist','noise','f1'},{'Wp','Wu','z2n'})
IC =
Uncertain continuous-time state-space model with 3 outputs, 3 inputs, 8 states.
The model uncertainty consists of the following blocks:
Delta: Uncertain 1x1 LTI, peak gain = 1, 1 occurrences
k1: Uncertain real, nominal = 2, range = [1.2,2.8], 1 occurrences
Type "IC.NominalValue" to see the nominal value, "get(IC)" to see all properties, and "IC.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.
Комплексный Mu-Synthesis
Можно использовать команду musyn синтезировать устойчивый контроллер для разомкнутого контура соединительных IC. По умолчанию musyn обрабатывает все неопределенные реальные параметры, в этом примере k1, как сложная неопределенность. Напомним, что k1 является вещественным параметром с номинальным значением 2 и диапазоном от 1,2 до 2,8. В комплексном Mu-Synthesis он заменяется комплексным неопределенным параметром, изменяющимся в диске с центром 2 и радиусом 0,8. График ниже сравнивает область значений значений k1, когда k1 рассматривается как вещественный (красный x) и комплексный (синий *).
k1c = ucomplex('k1c',2,'Radius',0.8); % complex approximation % Plot 80 samples of the real and complex parameters k1samp = usample(k1,80); k1csamp = usample(k1c,80); plot(k1samp(:),0*k1samp(:),'rx',real(k1csamp(:)),imag(k1csamp(:)),'b*') hold on % Draw value ranges for real and complex k1 plot(k1.Nominal,0,'rx',[1.2 2.8],[0 0],'r-','MarkerSize',14,'LineWidth',2) the=0:0.02*pi:2*pi; z=sin(the)+sqrt(-1)*cos(the); plot(real(0.8*z+2),imag(0.8*z),'b') hold off % Plot formatting axis([1 3 -1 1]), axis square ylabel('Imaginary'), xlabel('Real') title('Real vs. complex uncertainty model for k1')
Синтезируйте надежный контроллер Kc использование комплексного Mu-Synthesis (обработка k1 как комплексный параметр).
[Kc,mu_c,infoc] = musyn(IC,1,1);
D-K ITERATION SUMMARY:
-----------------------------------------------------------------
Robust performance Fit order
-----------------------------------------------------------------
Iter K Step Peak MU D Fit D
1 2.954 2.452 2.483 16
2 1.145 1.143 1.154 18
3 1.086 1.086 1.09 18
4 1.082 1.081 1.083 18
5 1.085 1.085 1.086 18
Best achieved robust performance: 1.08
Обратите внимание, что mu_c превышает 1, поэтому контроллер Kc не достигает требуемого уровня эффективности.
Смешанный синтез Му
Синтез mixed-mu учитывает неопределенные действительные параметры непосредственно в процессе синтеза. Включите синтез mixed-mu путем установки MixedMU опция для 'on'.
opt = musynOptions('MixedMU','on'); [Km,mu_m] = musyn(IC,1,1,opt);
DG-K ITERATION SUMMARY:
-------------------------------------------------------------------
Robust performance Fit order
-------------------------------------------------------------------
Iter K Step Peak MU DG Fit D G
1 2.954 2.081 2.367 16 8
2 1.606 1.388 1.503 14 12
3 0.9359 1.087 1.29 16 8
4 0.9167 0.9923 1.099 16 8
5 0.924 0.9477 1.008 16 8
6 0.9223 0.9321 0.9606 16 8
7 0.921 0.9242 0.9565 16 8
8 0.9128 0.9184 0.9814 20 8
9 0.9035 0.91 0.9242 20 8
10 0.8942 0.9035 0.9196 20 8
Best achieved robust performance: 0.903
Синтез mixed-mu способен найти контроллер, который достигает желаемых показателей эффективности и робастности. Сравнение реакций без разомкнутого контура показывает, что контроллер mixed-mu Km дает меньше запас по фазе около 3 рад/с, потому что ему нужно только защитить от реальных изменений k1.
clf % Note: Negative sign because interconnection in Fig 2 uses positive feedback bode(-Kc*plant.NominalValue(1,1),'b',-Km*plant.NominalValue(1,1),'r',{1e-2,1e2}) grid legend('P*Kc - complex mu loop gain','P*Km - mixed mu loop gain','location','SouthWest')
Анализ наихудшего случая
Сравнение двух контроллеров указывает, что использование «реальности» k1 приводит к более производительному, более устойчивому контроллеру.
Чтобы оценить наихудший случай эффективности в системе с обратной связью Kc и Km, сформировать взаимосвязь с обратной связью, представленной на рисунке 2, и использовать команду wcgain определить, насколько велика может быть норма «возмущение - ошибка» для заданной неопределенности объекта.
clpKc = lft(IC,Kc); clpKm = lft(IC,Km); [maxgainKc,badpertKc] = wcgain(clpKc); maxgainKc
maxgainKc =
struct with fields:
LowerBound: 2.0837
UpperBound: 2.0879
CriticalFrequency: 1.4303
[maxgainKm,badpertKm] = wcgain(clpKm); maxgainKm
maxgainKm =
struct with fields:
LowerBound: 0.8926
UpperBound: 0.8944
CriticalFrequency: 0.1480
Контроллер mixed-mu Km имеет худший коэффициент усиления 0,88, в то время как контроллер complex-mu Kc имеет худший коэффициент усиления в 2,2, или в 2,5 раза больше.
Симуляции подавления помех
Сравнение эффективности подавления помех Kc и Km, сначала создайте модели передачи от входного нарушения порядка с обратной связью dist на f2, f1, и z2 (положение массы m2)
Km.u = 'z2'; Km.y = 'f1'; clsimKm = connect(plant,Wdist,Km,'dist',{'f2','f1','z2'}); Kc.u = 'z2'; Kc.y = 'f1'; clsimKc = connect(plant,Wdist,Kc,'dist',{'f2','f1','z2'});
Вводите белый шум в lowpass Wdist для симуляции входа нарушения порядка f2. Номинальная эффективность в системе с обратной связью двух проектов почти идентична.
t = 0:.01:100; dist = randn(size(t)); yKc = lsim(clsimKc.Nominal,dist,t); yKm = lsim(clsimKm.Nominal,dist,t); % Plot subplot(311) plot(t,yKc(:,3),'b',t,yKm(:,3),'r') title('Nominal Disturbance Rejection Response') ylabel('z2') subplot(312) plot(t,yKc(:,2),'b',t,yKm(:,2),'r') ylabel('f1 (control)') legend('Kc','Km','Location','NorthWest') subplot(313) plot(t,yKc(:,1),'k') ylabel('f2 (disturbance)') xlabel('Time (sec)')
Затем сравните худшие сценарии для Kc и Km путем установки неопределенности объекта на наихудшие значения, вычисленные с помощью wcgain.
clsimKc_wc = usubs(clsimKc,badpertKc); clsimKm_wc = usubs(clsimKm,badpertKm); yKc_wc = lsim(clsimKc_wc,dist,t); yKm_wc = lsim(clsimKm_wc,dist,t); subplot(211) plot(t,yKc_wc(:,3),'b',t,yKm_wc(:,3),'r') title('Worse-Case Disturbance Rejection Response') ylabel('z2') subplot(212) plot(t,yKc_wc(:,2),'b',t,yKm_wc(:,2),'r') ylabel('f1 (control)') legend('Kc','Km','Location','NorthWest')
Это показывает, что контроллер mixed-mu Km значительно превосходит Kc в худшем случае. Используя тот факт, что k1 реально, контроллер mixed-mu способен обеспечить лучшую эффективность при равной робастности.
Упрощение контроллера
Контроллер mixed-mu Km имеет относительно высокий порядок по сравнению с объектом. Чтобы получить более простой контроллер, используйте musynвозможность настройки фиксированного порядка. При этом используются hinfstruct вместо hinfsyn для стадии синтеза. Можно попробовать различные порядки, чтобы найти самый простой контроллер, который поддерживает устойчивую эффективность. Для примера попробуйте настроить контроллер пятого порядка. Используйте опцию «RandomStart», чтобы запустить несколько циклов Mu-Synthesis, каждый из которых начинается с другого начального значения K.
K = tunableSS('K',5,1,1); % 5th-order tunable state-space model opt = musynOptions('MixedMU','on','MaxIter',20,'RandomStart',2); rng(0), [CL,mu_f] = musyn(lft(IC,K),opt);
=== Synthesis 1 of 3 ============================================
DG-K ITERATION SUMMARY:
-------------------------------------------------------------------
Robust performance Fit order
-------------------------------------------------------------------
Iter K Step Peak MU DG Fit D G
1 3.088 2.906 2.907 16 8
2 2.314 2.163 2.163 20 8
3 1.654 1.652 1.759 20 8
4 1.263 1.259 1.26 18 8
5 1.088 1.087 1.116 18 8
6 1.021 1.037 1.163 18 8
7 1.032 1.031 1.073 18 8
8 1.037 1.036 1.087 18 8
Best achieved robust performance: 1.03
=== Synthesis 2 of 3 ============================================
DG-K ITERATION SUMMARY:
-------------------------------------------------------------------
Robust performance Fit order
-------------------------------------------------------------------
Iter K Step Peak MU DG Fit D G
1 3 2.904 2.904 16 8
2 2.019 1.872 1.892 20 8
3 1.589 1.529 1.553 12 8
4 1.172 1.17 1.17 18 8
5 1.018 1.016 1.115 16 8
6 1.035 1.034 1.093 18 8
7 1.031 1.031 1.069 18 8
Best achieved robust performance: 1.02
=== Synthesis 3 of 3 ============================================
DG-K ITERATION SUMMARY:
-------------------------------------------------------------------
Robust performance Fit order
-------------------------------------------------------------------
Iter K Step Peak MU DG Fit D G
1 3.017 2.919 2.92 16 8
2 2.043 2.014 2.029 16 8
3 1.555 1.586 1.677 18 8
4 1.273 1.272 1.274 20 8
5 1.162 1.158 1.206 20 8
6 1.079 1.078 1.262 20 8
7 1.081 1.08 1.09 18 8
8 1.046 1.046 1.145 18 8
9 1.033 1.033 1.033 18 8
10 1.008 1.008 1.244 18 8
11 1.044 1.042 1.043 20 8
12 1.014 1.014 1.099 18 8
Best achieved robust performance: 1.01
Лучший контроллер почти обеспечивает желаемую устойчивую эффективность (устойчивую эффективность mu_f близок к 1). Сравните два контроллера.
clf, bode(Km,getBlockValue(CL,'K')) legend('Full order','5th order')
