Рассмотрим систему управления, объект которой номинально является интегратором с некоторой аддитивной динамической неопределенностью. Создайте модель объекта управления.

delta = ultidyn('delta',[1 1],'bound',0.4); 
G = tf(1,[1 0]) + delta;

Создайте контроллер PD для модели. Предположим, вы хотите изучить худший случай подавления помех эффективности. Создайте функцию чувствительности с обратной связью, чтобы изучить наихудший коэффициент усиления нарушения порядка на входе объекта.

C = pid(2,0,-0.04,0.02);
S = feedback(1,G*C);

Из-за неопределенности частотная характеристика этой передаточной функции попадает в некоторую огибающую. Величина частотной характеристики нескольких выборок системы дает ощущение этой огибающей.

bodemag(S)

Каждая выборка имеет разное пиковое усиление. Найдите самое высокое значение пика-усиления в огибающей и соответствующие значения для неопределенных элементов.

[wcg,wcu] = wcgain(S);
wcg

wcg = struct with fields:
           LowerBound: 5.1036
           UpperBound: 5.1140
    CriticalFrequency: 10.7241

The LowerBound и UpperBound поля wcg показать, что наихудший пиковый коэффициент усиления составляет около 5,1. Это усиление происходит на критической частоте около 10,6 рад/с.

Область выхода wcu - структура, которая содержит возмущение, которое должно быть delta что вызывает усиление в худшем случае. Подтвердите результат, подстановив это значение в функцию чувствительности.

Swc = usubs(S,wcu);
getPeakGain(Swc)

ans = 5.1037

Потому что система имеет динамическую неопределенность delta с коэффициентом усиления не более 0,4, наихудшее значение delta должна быть системой с пиковым усилением 0,4. Подтвердите этот результат.

getPeakGain(wcu.delta)

ans = 0.4000

Рассмотрим модель системы управления, содержащей неопределенные элементы.

k = ureal('k',10,'Percent',40);
delta = ultidyn('delta',[1 1]); 
G = tf(18,[1 1.8 k]) * (1 + 0.5*delta);
C = pid(2.3,3,0.38,0.001);
CL = feedback(G*C,1);

По умолчанию wcgain возвращает только наихудший пиковый коэффициент усиления по всем частотам. Чтобы получить значения усиления в худшем случае на нескольких частотах, используйте 'VaryFrequency' опция wcOptions. Для примера вычислите максимально возможный коэффициент усиления системы в частотных точках между 0,1 и 10 рад/с.

opts = wcOptions('VaryFrequency','on');
[wcg1,wcu1,info1] = wcgain(CL,{0.1,10},opts);
info1

info1 = struct with fields:
                 Model: 1
             Frequency: [19x1 double]
                Bounds: [19x2 double]
     WorstPerturbation: [19x1 struct]
           Sensitivity: [1x1 struct]
    BadUncertainValues: [19x1 struct]
            ArrayIndex: 1

wcgain возвращает вектор частот в info выход, в Frequencies поле. info.Bounds содержит верхнюю и нижнюю границы коэффициента усиления в худшем случае на каждой частоте. Используйте эти значения, чтобы построить график частотной зависимости усиления в худшем случае.

semilogx(info1.Frequency,info1.Bounds)
title('Worst-Case Gain vs. Frequency')
ylabel('Gain')
xlabel('Frequency')
legend('Lower bound','Upper bound','Location','northwest')

Кривая показывает огибающую с высоким усилением для всех систем в области значений неопределенности CL. Можно также использовать wcsigmaplot для построения графика этой огибающей вместе с выборками системы.

Когда вы используете 'VaryFrequency' опция, wcgain выбирает частотные точки автоматически. Частоты, которые он выбирает, гарантированно включают частоту, при которой усиление в худшем случае является самым высоким (в заданной области). Отобразите возвращенные значения частоты, чтобы подтвердить, что они включают критическую частоту.

info1.Frequency

ans = 19×1

    0.1000
    0.1061
    0.1425
    0.1914
    0.2572
    0.3455
    0.4642
    0.6236
    0.8377
    1.1253
      ⋮

wcg1.CriticalFrequency

ans = 6.0670

Кроме того, вместо использования 'VaryFrequency'можно задать конкретные частоты, на которых можно вычислить коэффициенты усиления в худшем случае. info.Bounds содержит коэффициент усиления в худшем случае на всех заданных частотах.

w = logspace(-1,1,24); 
[wcg2,wcu2,info2] = wcgain(CL,w);
semilogx(w,info2.Bounds)
title('Worst-Case Gain vs. Frequency')
ylabel('Gain')
xlabel('Frequency')
legend('Lower bound','Upper bound','Location','northwest')

Когда вы предоставляете сетку частот таким образом, результаты не гарантируют включение общего усиления в худшем случае, которое может опуститься между заданными точками частоты. Чтобы увидеть это, исследуйте wcg1 и wcg2, которые содержат ограничения для двух подходов.

wcg1

wcg1 = struct with fields:
           LowerBound: 2.0848
           UpperBound: 2.0893
    CriticalFrequency: 6.0670

wcg2

wcg2 = struct with fields:
           LowerBound: 2.0349
           UpperBound: 2.0370
    CriticalFrequency: 6.7002

wcg1, вычисляется с помощью VaryFrequency, находит более высокий коэффициент усиления по сравнению с заданной сеткой частот.

Рассмотрим цикл обратной связи с заводом первого порядка и ПИ-контроллера. Временная константа объекта неопределенна, и цикл обратной связи учитывает немоделированную динамическую неопределенность. Вычислите коэффициент усиления функции чувствительности в худшем случае Si на входах объекта. Используйте 'Sensitivity' опция wcOptions вычислить, насколько чувствителен этот коэффициент усиления в худшем случае к каждому неопределенному элементу.

% Create uncertain system and controller
delta = ultidyn('delta',[1 1]);
tau = ureal('tau',5,'range',[4 6]);
P = tf(1,[tau 1])*(1+0.25*delta);
C = pid(4,4);

opt = wcOptions('Sensitivity','on');
Si = inv(1 + C*P);
[wcg,~,info] = wcgain(Si,opt);

The Sensitivity поле info структура output включает данные, которые отражают, насколько изменяется максимальное усиление входной функции чувствительности с каждым неопределенным элементом.

info.Sensitivity

ans = struct with fields:
    delta: 44
      tau: 9

Этот результат говорит вам, что, если область значений неопределенности дельты увеличивается на 10%, пиковая входная чувствительность увеличивается примерно на 4,4%. Точно так же увеличение на 10% области значений неопределенности тау вызывает увеличение пиковой входной чувствительности примерно на 0,9%.

Определение некоторых опций для расчета сингулярного значения, которое лежит в основе расчета с наихудшим усилением, может привести к лучшим результатам в некоторых случаях. Для примера рассмотрим образец объекта управления и контроллера.

load('wcgExampleData.mat')

Эта команда загружает gPlant, объект MIMO с 10 выходами, 8 входами и 11 неопределенными элементами. Он также загружает Kmu, модели контроллеров пространства состояний. Сформируйте систему с обратной связью с этими моделями и исследуйте усиление в худшем случае.

CL = lft(gPlant,Kmu);
[wcg,wcu] = wcgain(CL);
wcg

wcg = struct with fields:
           LowerBound: 10.8742
           UpperBound: 11.2135
    CriticalFrequency: 6.6794

Существует большое различие между нижней и верхней границами по усилению в худшем случае. Чтобы получить лучшую оценку фактического усиления в худшем случае, увеличьте количество перезапусков, которые wcgain использует для вычисления наихудшего случая возмущения и связанной с ним нижней границы. Это может привести к более жесткой нижней границе. Эта опция не влияет на вычисление верхней границы.

opt = wcOptions('MussvOptions','m3');
[wcg,wcu] = wcgain(CL,opt);
wcg

wcg = struct with fields:
           LowerBound: 10.8742
           UpperBound: 11.2135
    CriticalFrequency: 6.6794

Различие между нижней и верхней границами усиления в худшем случае намного меньше. Критическая частота также отличается.