Z-преобразование частично-дробного расширения
Вычислите частично-дробное расширение, соответствующий БИХ фильтру lowpass третьего порядка, описанному передаточной функцией
Выразите числитель и знаменатель как полиномиальные свертки.
b0 = 0.05634; b1 = [1 1]; b2 = [1 -1.0166 1]; a1 = [1 -0.683]; a2 = [1 -1.4461 0.7957]; b = b0*conv(b1,b2); a = conv(a1,a2);
Вычислите остатки, полюсы и прямые условия частично-дробного расширения.
[r,p,k] = residuez(b,a)
r = 3×1 complex
-0.1153 - 0.0182i
-0.1153 + 0.0182i
0.3905 + 0.0000i
p = 3×1 complex
0.7230 + 0.5224i
0.7230 - 0.5224i
0.6830 + 0.0000i
k = -0.1037
Постройте графики полюсов и нулей передаточной функции и наложите полюса, которые вы только что нашли.
zplane(b,a) hold on plot(p,'^r') hold off
Использование residuez снова для восстановления передаточной функции.
[bn,an] = residuez(r,p,k)
bn = 1×4
0.0563 -0.0009 -0.0009 0.0563
an = 1×4
1.0000 -2.1291 1.7834 -0.5435
residuez преобразует дискретное время систему, выраженную в виде отношения двух полиномов, в форму частичного расширения дроби или остатка. Это также преобразует частичное расширение дроби назад в исходные полиномиальные коэффициенты.
Примечание
Численно, частичное расширение дроби отношения полиномов является плохо поставленной задачей. Если многочлен знаменателя находится вблизи полинома с несколькими корнями, то небольшие изменения в данных, включая ошибки округления, могут вызвать произвольно большие изменения получившихся полюсов и остатков. Вместо этого следует использовать представления пространства состояний или нули полюсов.
residuez применяет стандартный MATLAB® функции и методы частичной дроби для поиска r, p, и k от b и a. Он находит
Прямые условия a использование deconv (полиномиальное длинное деление) при length(b) > length(a)-1.
Полюса, использующие p = roots(a).
Любые повторяющиеся полюса, переупорядочивающие полюса согласно их кратностям.
Остаток для каждого неповреждающегося полюса pj умножением b (z )/ a (z) на 1/ ( 1 - pj z−1) и оценка получившейся рациональной функции при z = pj.
Остатки для повторных полюсов путем решения
S2*r2 = h - S1*r1
для r2 использование \. h - импульсная характеристика уменьшенного b (z )/ a (z), S1 - матрица, столбцы которой являются импульсными характеристиками систем первого порядка, состоящих из непоследовательных корней, и r1 - столбец, содержащий остатки неповторяющихся корней. Каждый столбец матрицы S2 является импульсной характеристикой. Для каждого корневого pj кратности sj, S2 содержит sj столбцов, представляющие импульсные характеристики каждой из следующих систем.
Векторная h и матрицы S1 и S2 иметь n + xtra строки, где n - общее количество корней и внутренний параметр xtra, установленный на 1 по умолчанию, определяет степень избыточного определения системы уравнений.
[1] Oppenheim, Alan V., Ronald W. Schafer, and John R. Buck. Обработка сигнала в дискретном времени. 2nd Ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1999.