Спектральный анализ

Справочная информация

Цель спектральной оценки состоит в том, чтобы описать распределение (по частоте) степени, содержащейся в сигнале, на основе конечного набора данных. Оценка спектров степени полезна во многих приложениях, включая обнаружение сигналов, зарытых в широкополосный шум.

Спектральная плотность степени (PSD) стационарного случайного x процесса (n) математически связана с автокорреляционной последовательностью преобразованием Фурье в дискретном времени. В терминах нормированной частоты это определяется

$P_{x x} (ω) = \frac{1}{2 π} \sum_{m = - \infty}^{\infty} R_{x x} (m) e^{- j ω m} .$

Это может быть записано как функция от f физических частот (для примера, в hertz) с помощью отношения ω = 2 πf/ _fs, где _fs - частота дискретизации:

$P_{x x} (f) = \frac{1}{f_{s}} \sum_{m = - \infty}^{\infty} R_{x x} (m) e^{- j 2 π m f / f_{s}} .$

Корреляционная последовательность может быть выведена из PSD при помощи обратного преобразования Фурье в дискретном времени:

$R_{x x} (m) = \int_{- π}^{π} P_{x x} (ω) e^{j ω m} d ω = \int_{- f_{s} / 2}^{f_{s} / 2} P_{x x} (f) e^{j 2 π m f / f_{s}} d f .$

Средняя степень x последовательности (n) на протяжении всего интервала Найквиста представлена

$R_{x x} (0) = \int_{- π}^{π} P_{x x} (ω) d ω = \int_{- f_{s} / 2}^{f_{s} / 2} P_{x x} (f) d f .$

Средняя степень сигнала по конкретному диапазону частот [<reservedrangesplaceholder4> 1 , <reservedrangesplaceholder3> 2], 0 <reservedrangesplaceholder2> 1 <reservedrangesplaceholder1> 2 <reservedrangesplaceholder0>, может быть найдена, объединив PSD по той полосе:

${\bar{P}}_{[ω_{1}, ω_{2}]} = \int_{ω_{1}}^{ω_{2}} P_{x x} (ω) d ω = \int_{- ω_{2}}^{- ω_{1}} P_{x x} (ω) d ω .$

Из вышеописанного выражения можно увидеть, что _Pxx (ω) представляет содержимое степени сигнала в бесконечно малой частотной полосе, поэтому он называется спектральной плотностью степени.

Модули PSD являются степенью (например, ваттами) на модуль частоты. В случае _Pxx (ω) это watts/radian/sample или просто watts/radian. В случае _Pxx (f) модулями являются ватты/герц. Интегрирование PSD с частотой приводит к модулям ватта, как и ожидалось для средней степени.

Для сигналов с реальным знаком PSD симметричен о DC, и таким образом _Pxx (<reservedrangesplaceholder2>) для 0 ≤ <reservedrangesplaceholder1> ≤ <reservedrangesplaceholder0> достаточно, чтобы полностью охарактеризовать PSD. Однако, чтобы получить среднюю степень на протяжении всего интервала Найквиста, необходимо ввести концепцию одностороннего PSD.

Односторонний PSD задается как

$P_{one-sided} (ω) = {\begin{array}{l} 0, & - π \leq ω < 0, \\ 2 P_{x x} (ω), & 0 \leq ω \leq π . \end{array}$

Средняя степень сигнала по диапазону частот, [<reservedrangesplaceholder4> 1 , <reservedrangesplaceholder3> 2] с 0 <reservedrangesplaceholder2> 1 <reservedrangesplaceholder1> 2 <reservedrangesplaceholder0>, может быть вычислена, используя односторонний PSD как

${\bar{P}}_{[ω_{1}, ω_{2}]} = \int_{ω_{1}}^{ω_{2}} P_{one-sided} (ω) d ω .$

Метод спектральной оценки

Различные методы оценки спектра, доступные в тулбоксе, классифицируются следующим образом:

Непараметрические методы
Параметрические методы
Методы подпространства

Непараметрические методы являются теми, в которых PSD оценивается непосредственно от самого сигнала. Самым простым таким методом является периодограмма. Другие непараметрические методы, такие как метод Уэлча [8], метод мультитапера (MTM) уменьшают отклонение периодограммы.

Параметрические методы являются такими, в которых PSD оценивается из сигнала, который принимается как выход линейной системы, управляемой белым шумом. Примерами являются метод авторегрессии Юла-Уокера (AR) и метод Бурга. Эти методы оценивают PSD путем первой оценки параметров (коэффициентов) линейной системы, которая гипотетически генерирует сигнал. Они, как правило, дают лучшие результаты, чем классические непараметрические методы, когда длина данных доступного сигнала относительно коротка. Параметрические методы также дают более плавные оценки PSD, чем непараметрические методы, но подвержены ошибке от миссидификации модели.

Методы подпространства, также известные как методы высокого разрешения или методы суперразрешения, генерируют оценки частотной составляющей для сигнала, основанные на собственном анализе или собственном вычислении матрицы автокорреляции. Примерами являются метод классификации нескольких сигналов (MUSIC) или метод собственного вектора (EV). Эти методы лучше всего подходят для линейных спектров - то есть спектров синусоидальных сигналов - и эффективны в обнаружении синусоид, зарытых в шум, особенно когда отношения сигнал/шум низки. Методы подпространства не дают истинных оценок PSD: они не сохраняют степень процесса между временными и частотными диапазонами, и автокорреляционная последовательность не может быть восстановлена путем взятия обратного преобразования Фурье оценки частоты.

Все три категории методов перечислены в таблице ниже с соответствующими именами функции тулбокса. Больше информации о каждой функции находится на соответствующей странице с описанием функции. Смотрите Параметрическое Моделирование для получения дополнительной информации о lpc и другие параметрические функции оценки.

Методы/функции спектральной оценки

Метод	Описание	Функции
Periodogram	Оценка спектральной плотности степени	`periodogram`
Валлийский язык	Средние периодограммы перекрывающихся оконных секций сигнала	`pwelch`, `cpsd`, `tfestimate`, `mscohere`
Мультитонкая свеча	Спектральная оценка из комбинации нескольких ортогональных окон (или «сужений»)	`pmtm`
Юле-Уокер АР	Авторегрессионная (AR) спектральная оценка timeseries из его оцененной автокорреляционной функции	`pyulear`
Город	Авторегрессионная (AR) спектральная оценка timeseries путем минимизации линейных ошибок предсказания	`pburg`
Ковариация	Авторегрессионная (AR) спектральная оценка timeseries путем минимизации ошибок прямого предсказания	`pcov`
Измененная ковариация	Авторегрессионная (AR) спектральная оценка timeseries путем минимизации ошибок прямого и обратного предсказания	`pmcov`
МУЗЫКА	Классификация нескольких сигналов	`pmusic`
Собственный вектор	Псевдоспектр	`peig`

Документация