Создайте матрицу выборочных данных y со столбцами, которые являются постоянными, плюс случайные нормальные нарушения порядка со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.

y = meshgrid(1:5);
rng default; % For reproducibility
y = y + normrnd(0,1,5,5)

y = 5×5

    1.5377    0.6923    1.6501    3.7950    5.6715
    2.8339    1.5664    6.0349    3.8759    3.7925
   -1.2588    2.3426    3.7254    5.4897    5.7172
    1.8622    5.5784    2.9369    5.4090    6.6302
    1.3188    4.7694    3.7147    5.4172    5.4889

Выполните однофакторный дисперсионный анализ.

p = anova1(y)

p = 0.0023

Таблица ANOVA показывает изменение между группами (Columns) и изменения внутри групп (Error). SS - сумма квадратов, и df - степени свободы. Общие степени свободы - общее количество наблюдений минус один, что составляет 25 - 1 = 24. Степени свободы между группами - это количество групп минус одна, что составляет 5 - 1 = 4. Степени свободы внутри групп являются общими степенями свободы за вычетом степеней свободы между группами, что составляет 24 - 4 = 20.

MS - средняя квадратичная невязка, которая SS/df для каждого источника изменения. F-статистическая величина является отношением средних квадратичных невязок (13.4309/2.2204). p-значение является вероятностью того, что тестовая статистика может взять значение, больше значения вычисленной тестовой статистики, т.е. P (F > 6.05). Маленькое значение p 0,0023 указывает, что различия между средними значительными.

Введите выборочные данные.

strength = [82 86 79 83 84 85 86 87 74 82 ...
            78 75 76 77 79 79 77 78 82 79];
alloy = {'st','st','st','st','st','st','st','st',...
         'al1','al1','al1','al1','al1','al1',...
         'al2','al2','al2','al2','al2','al2'};

Данные взяты из исследования упругости стержней из разного материала взятые в Хогге (1987). Сила вектора измеряет прогибы стержней в тысячных долях дюйма под 3000 фунтов силы. Векторный сплав идентифицирует каждый луч как сталь ('st'), сплав 1 ('al1'), или сплав 2 ('al2'). Несмотря на то, что сплав сортируется в этом примере, сгруппированные переменные не должны сортироваться.

Проверьте нулевую гипотезу о том, что стальные балки равны по прочности балкам, изготовленным из двух более дорогих сплавов. Отключите отображение рисунка и верните результаты Дисперсионного Анализа в массиве ячеек.

[p,tbl] = anova1(strength,alloy,'off')

p = 1.5264e-04

tbl=4×6 cell array
  Columns 1 through 5

    {'Source'}    {'SS'      }    {'df'}    {'MS'      }    {'F'       }
    {'Groups'}    {[184.8000]}    {[ 2]}    {[ 92.4000]}    {[ 15.4000]}
    {'Error' }    {[102.0000]}    {[17]}    {[  6.0000]}    {0x0 double}
    {'Total' }    {[286.8000]}    {[19]}    {0x0 double}    {0x0 double}

  Column 6

    {'Prob>F'    }
    {[1.5264e-04]}
    {0x0 double  }
    {0x0 double  }

Общие степени свободы - это общее количество наблюдений минус один, который является $20-1=19$. Степени свободы между группами - это количество групп минус одна, которая является $3-1=2$. Степени свободы внутри групп являются общими степенями свободы за вычетом степеней свободы между группами, что $19-2=17$.

MS - средняя квадратичная невязка, которая SS/df для каждого источника изменения. F-статистическая величина является отношением средних квадратичных невязок. p-значение является вероятностью того, что тестовая статистика может взять значение, больше или равное значению тестовой статистики. p-значение 1.5264e-04 предполагает отказ от нулевой гипотезы.

Можно получить значения в таблице ANOVA путем индексации в массив ячеек. Сохраните F-статистическое значение и p-значение в новых переменных Fstat и pvalue.

Fstat = tbl{2,5}

Fstat = 15.4000

pvalue = tbl{2,6}

pvalue = 1.5264e-04

Введите выборочные данные.

strength = [82 86 79 83 84 85 86 87 74 82 ...
            78 75 76 77 79 79 77 78 82 79];
alloy = {'st','st','st','st','st','st','st','st',...
         'al1','al1','al1','al1','al1','al1',...
         'al2','al2','al2','al2','al2','al2'};

Данные взяты из исследования упругости стержней из разного материала взятые в Хогге (1987). Сила вектора измеряет прогибы стержней в тысячных долях дюйма под 3000 фунтов силы. Векторный сплав идентифицирует каждый луч как сталь (st), сплав 1 (al1), или сплав 2 (al2). Несмотря на то, что сплав сортируется в этом примере, сгруппированные переменные не должны сортироваться.

Выполните однофакторный дисперсионный анализ, используя anova1. Верните структуру stats, который содержит статистические multcompare нуждается в выполнении нескольких сравнений.

[~,~,stats] = anova1(strength,alloy);

Малое значение p 0,0002 предполагает, что прочность 0,0002 предполагает, что прочность стержней неодинакова.

Выполните многократное сравнение средней прочности стержней.

[c,~,~,gnames] = multcompare(stats);

Отображение результатов сравнения с соответствующими именами групп.

[gnames(c(:,1)), gnames(c(:,2)), num2cell(c(:,3:6))]

ans=3×6 cell array
  Columns 1 through 5

    {'st' }    {'al1'}    {[ 3.6064]}    {[ 7]}    {[10.3936]}
    {'st' }    {'al2'}    {[ 1.6064]}    {[ 5]}    {[ 8.3936]}
    {'al1'}    {'al2'}    {[-5.6280]}    {[-2]}    {[ 1.6280]}

  Column 6

    {[1.6831e-04]}
    {[    0.0040]}
    {[    0.3560]}

В первых двух столбцах показана пара сравниваемых групп. В четвертом столбце показано различие между предполагаемыми средними значениями группы. Третий и пятый столбцы показывают нижний и верхний пределы для 95% доверительных интервалов истинного различия средств. Шестой столбец показывает p-значение для гипотезы о том, что истинное различие средств для соответствующих групп равно нулю.

Первые две строки показывают, что оба сравнения с участием первой группы (стали) имеют доверительные интервалы, которые не включают нуль. Поскольку соответствующие значения p (1.6831e-04 и 0.0040, соответственно) малы, эти различия значительны.

Третья строка показывает, что различия в прочности двух сплавов незначительны. 95% доверительный интервал для различия является [-5.6.1.6], поэтому вы не можете отклонить гипотезу о том, что истинное различие равно нулю. Соответствующее значение p 0,3560 в шестом столбце подтверждает этот результат.

На рисунке синий брус представляет интервал сравнения для средней прочности материала для стали. Красные бруски представляют интервалы сравнения средней прочности материала для сплава 1 и сплава 2. Ни один из красных стержней не перекрывается с синим стержнем, что указывает на то, что средняя прочность материала для стали значительно отличается от прочности сплава 1 и сплава 2. Чтобы подтвердить существенное различие, щелкните по стержням, которые представляют сплав 1 и 2.