Поиск измененной функции Бесселя первого рода

Вычислите измененные функции Бесселя первого рода для этих чисел. Поскольку эти числа не являются символическими объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой.

[besseli(0, 5), besseli(-1, 2), besseli(1/3, 7/4),  besseli(1, 3/2 + 2*i)]

ans =
  27.2399 + 0.0000i   1.5906 + 0.0000i   1.7951 + 0.0000i  -0.1523 + 1.0992i

Вычислите измененные функции Бесселя первого рода для чисел, преобразованных в символические объекты. Для большинства символических (точных) чисел besseli возвращает неразрешенные символические вызовы.

[besseli(sym(0), 5), besseli(sym(-1), 2),...
 besseli(1/3, sym(7/4)), besseli(sym(1), 3/2 + 2*i)]

ans =
[ besseli(0, 5), besseli(1, 2), besseli(1/3, 7/4), besseli(1, 3/2 + 2i)]

Для символьных переменных и выражений, besseli также возвращает неразрешенные символические вызовы:

syms x y
[besseli(x, y), besseli(1, x^2), besseli(2, x - y), besseli(x^2, x*y)]

ans =
[ besseli(x, y), besseli(1, x^2), besseli(2, x - y), besseli(x^2, x*y)]

Решение дифференциального уравнения Бесселя для измененных функций Бесселя

Решить это дифференциальное уравнение второго порядка. Решениями являются измененные функции Бесселя первого и второго рода.

syms nu w(z)
dsolve(z^2*diff(w, 2) + z*diff(w) -(z^2 + nu^2)*w == 0)

ans =
C2*besseli(nu, z) + C3*besselk(nu, z)

Проверьте, что измененная функция Бесселя первого рода является допустимым решением модифицированного дифференциального уравнения Бесселя.

syms nu z
isAlways(z^2*diff(besseli(nu, z), z, 2) + z*diff(besseli(nu, z), z)...
 - (z^2 + nu^2)*besseli(nu, z) == 0)

ans =
  logical
   1

Специальные значения измененной функции Бесселя первого рода

Если первый параметр является нечетным целым числом, умноженным на 1/2, besseli переписывает функции Бесселя в терминах элементарных функций:

syms x
besseli(1/2, x)

ans =
(2^(1/2)*sinh(x))/(x^(1/2)*pi^(1/2))

besseli(-1/2, x)

ans =
(2^(1/2)*cosh(x))/(x^(1/2)*pi^(1/2))

besseli(-3/2, x)

ans =
(2^(1/2)*(sinh(x) - cosh(x)/x))/(x^(1/2)*pi^(1/2))

besseli(5/2, x)

ans =
-(2^(1/2)*((3*cosh(x))/x - sinh(x)*(3/x^2 + 1)))/(x^(1/2)*pi^(1/2))

Дифференцирование измененной функции Бесселя первого рода

Дифференцируйте выражения с участием измененных функций Бесселя первого рода:

syms x y
diff(besseli(1, x))
diff(diff(besseli(0, x^2 + x*y -y^2), x), y)

ans =
besseli(0, x) - besseli(1, x)/x
 
ans =
besseli(1, x^2 + x*y - y^2) +...
(2*x + y)*(besseli(0, x^2 + x*y - y^2)*(x - 2*y) -...
(besseli(1, x^2 + x*y - y^2)*(x - 2*y))/(x^2 + x*y - y^2))
 

Функция Бесселя для матричного входа

Функции besseli для матрицы A и значение 1/2. Результатом является матрица измененных функций Бесселя besseli(1/2, A(i,j)).

syms x
A = [-1, pi; x, 0];
besseli(1/2, A)

ans =
[        (2^(1/2)*sinh(1)*1i)/pi^(1/2), (2^(1/2)*sinh(pi))/pi]
[ (2^(1/2)*sinh(x))/(x^(1/2)*pi^(1/2)),                     0]

Постройте график измененных функций Бесселя первого рода

Постройте график измененных функций Бесселя первого рода для $$v=0,1,2,3$$.

syms x y
fplot(besseli(0:3, x))
axis([0 4 -0.1 4])
grid on

ylabel('I_v(x)')
legend('I_0','I_1','I_2','I_3', 'Location','Best')
title('Modified Bessel functions of the first kind')