Поиск измененной функции Бесселя второго рода

Вычислите измененные функции Бесселя второго рода для этих чисел. Поскольку эти числа не являются символическими объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой.

[besselk(0, 5), besselk(-1, 2), besselk(1/3, 7/4),...
  besselk(1, 3/2 + 2*i)]

ans =
   0.0037 + 0.0000i   0.1399 + 0.0000i   0.1594 + 0.0000i  -0.1620 - 0.1066i

Вычислите измененные функции Бесселя второго рода для чисел, преобразованных в символические объекты. Для большинства символических (точных) чисел besselk возвращает неразрешенные символические вызовы.

[besselk(sym(0), 5), besselk(sym(-1), 2),...
 besselk(1/3, sym(7/4)), besselk(sym(1), 3/2 + 2*i)]

ans =
[ besselk(0, 5), besselk(1, 2), besselk(1/3, 7/4), besselk(1, 3/2 + 2i)]

Для символьных переменных и выражений, besselk также возвращает неразрешенные символические вызовы:

syms x y
[besselk(x, y), besselk(1, x^2), besselk(2, x - y), besselk(x^2, x*y)]

ans =
[ besselk(x, y), besselk(1, x^2), besselk(2, x - y), besselk(x^2, x*y)]

Специальные значения измененной функции Бесселя второго рода

Если первый параметр является нечетным целым числом, умноженным на 1/2, besselk переписывает функции Бесселя в терминах элементарных функций:

syms x
besselk(1/2, x)

ans =
(2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-x))/(2*x^(1/2))

besselk(-1/2, x)

ans =
(2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-x))/(2*x^(1/2))

besselk(-3/2, x)

ans =
(2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-x)*(1/x + 1))/(2*x^(1/2))

besselk(5/2, x)

ans =
(2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-x)*(3/x + 3/x^2 + 1))/(2*x^(1/2))

Решение дифференциального уравнения Бесселя для функций Бесселя

Решить это дифференциальное уравнение второго порядка. Решениями являются измененные функции Бесселя первого и второго рода.

syms nu w(z)
dsolve(z^2*diff(w, 2) + z*diff(w) -(z^2 + nu^2)*w == 0)

ans =
C2*besseli(nu, z) + C3*besselk(nu, z)

Проверьте, что измененная функция Бесселя второго рода является допустимым решением модифицированного дифференциального уравнения Бесселя:

syms nu z
isAlways(z^2*diff(besselk(nu, z), z, 2) + z*diff(besselk(nu, z), z)...
 - (z^2 + nu^2)*besselk(nu, z) == 0)

ans =
  logical
   1

Дифференцирование измененной функции Бесселя второго рода

Дифференцируйте выражения с участием измененных функций Бесселя второго рода:

syms x y
diff(besselk(1, x))
diff(diff(besselk(0, x^2 + x*y -y^2), x), y)

ans =
- besselk(1, x)/x - besselk(0, x)
 
ans =
(2*x + y)*(besselk(0, x^2 + x*y - y^2)*(x - 2*y) +...
(besselk(1, x^2 + x*y - y^2)*(x - 2*y))/(x^2 + x*y - y^2)) -...
besselk(1, x^2 + x*y - y^2)
 

Поиск функции Бесселя для матричного входа

Функции besselk для матрицы A и значение 1/2. Результатом является матрица измененных функций Бесселя besselk(1/2, A(i,j)).

syms x
A = [-1, pi; x, 0];
besselk(1/2, A)

ans =
[         -(2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(1)*1i)/2, (2^(1/2)*exp(-pi))/2]
[ (2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-x))/(2*x^(1/2)),                  Inf]

Построение измененных функций Бесселя второго рода

Постройте график измененных функций Бесселя второго рода для $$v=0,1,2,3$$.

syms x y
fplot(besselk(0:3, x))
axis([0 4 0 4])
grid on

ylabel('K_v(x)')
legend('K_0','K_1','K_2','K_3', 'Location','Best')
title('Modified Bessel functions of the second kind')