Найдите функцию Бесселя первого рода

Вычислите функции Бесселя первого рода для этих чисел. Поскольку эти числа являются плавающими, вы получаете результаты с плавающей точкой.

[besselj(0,5) besselj(-1,2) besselj(1/3,7/4) besselj(1,3/2+2*i)]

ans =
  -0.1776 + 0.0000i  -0.5767 + 0.0000i   0.5496 + 0.0000i   1.6113 + 0.3982i

Вычислите функции Бесселя первого рода для чисел, преобразованных в символьную форму. Для большинства символических (точных) чисел besselj возвращает неразрешенные символические вызовы.

[besselj(sym(0),5) besselj(sym(-1),2)...
 besselj(1/3,sym(7/4))  besselj(sym(1),3/2+2*i)]

ans =
[ besselj(0, 5), -besselj(1, 2), besselj(1/3, 7/4), besselj(1, 3/2 + 2i)]

Для символьных переменных и выражений, besselj также возвращает неразрешенные символические вызовы.

syms x y
[besselj(x,y) besselj(1,x^2) besselj(2,x-y) besselj(x^2,x*y)]

ans =
[ besselj(x, y), besselj(1, x^2), besselj(2, x - y), besselj(x^2, x*y)]

Решение дифференциального уравнения Бесселя для функций Бесселя

Решить это дифференциальное уравнение второго порядка. Решениями являются функции Бесселя первого и второго рода.

syms nu w(z)
ode = z^2*diff(w,2) + z*diff(w) +(z^2-nu^2)*w == 0;
dsolve(ode)

ans =
C2*besselj(nu, z) + C3*bessely(nu, z)

Проверьте, что функция Бесселя первого рода является допустимым решением дифференциального уравнения Бесселя.

cond = subs(ode,w,besselj(nu,z));
isAlways(cond)

ans =
  logical
   1

Особые значения функции Бесселя первого рода

Покажите, что, если первый параметр является нечетным целым числом, умноженным на 1/2, besselj переписывает функции Бесселя в терминах элементарных функций.

syms x
besselj(1/2,x)

ans =
(2^(1/2)*sin(x))/(x^(1/2)*pi^(1/2))

besselj(-1/2,x)

ans =
(2^(1/2)*cos(x))/(x^(1/2)*pi^(1/2))

besselj(-3/2,x)

ans =
-(2^(1/2)*(sin(x) + cos(x)/x))/(x^(1/2)*pi^(1/2))

besselj(5/2,x)

ans =
-(2^(1/2)*((3*cos(x))/x - sin(x)*(3/x^2 - 1)))/(x^(1/2)*pi^(1/2))

Дифференцируйте функцию Бесселя первого рода

Дифференцируйте выражения с участием функций Бесселя первого рода.

syms x y
diff(besselj(1,x))

ans =
besselj(0, x) - besselj(1, x)/x

diff(diff(besselj(0,x^2+x*y-y^2), x), y)

ans =
- besselj(1, x^2 + x*y - y^2) -...
(2*x + y)*(besselj(0, x^2 + x*y - y^2)*(x - 2*y) -...
(besselj(1, x^2 + x*y - y^2)*(x - 2*y))/(x^2 + x*y - y^2))

Поиск функции Бесселя для матричного входа

Функции besselj для матрицы A и значение 1/2. besselj действует поэлементно, чтобы вернуть матрицу функций Бесселя.

syms x
A = [-1, pi; x, 0];
besselj(1/2, A)

ans =
[        (2^(1/2)*sin(1)*1i)/pi^(1/2), 0]
[ (2^(1/2)*sin(x))/(x^(1/2)*pi^(1/2)), 0]

Построение графика функций Бесселя первого рода

Постройте график функций Бесселя первого рода для $$0,1,2,3$$.

syms x y
fplot(besselj(0:3, x))
axis([0 10 -0.5 1.1])
grid on

ylabel('J_v(x)')
legend('J_0','J_1','J_2','J_3', 'Location','Best')
title('Bessel functions of the first kind')