Найдите функцию Бесселя второго рода

Вычислите функции Бесселя второго рода для этих чисел. Поскольку эти числа не являются символическими объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой.

[bessely(0, 5), bessely(-1, 2), bessely(1/3, 7/4), bessely(1, 3/2 + 2*i)]

ans =
  -0.3085 + 0.0000i   0.1070 + 0.0000i   0.2358 + 0.0000i  -0.4706 + 1.5873i

Вычислите функции Бесселя второго рода для чисел, преобразованных в символические объекты. Для большинства символических (точных) чисел bessely возвращает неразрешенные символические вызовы.

[bessely(sym(0), 5), bessely(sym(-1), 2),...
 bessely(1/3, sym(7/4)), bessely(sym(1), 3/2 + 2*i)]

ans =
[ bessely(0, 5), -bessely(1, 2), bessely(1/3, 7/4), bessely(1, 3/2 + 2i)]

Для символьных переменных и выражений, bessely также возвращает неразрешенные символические вызовы:

syms x y
[bessely(x, y), bessely(1, x^2), bessely(2, x - y), bessely(x^2, x*y)]

ans =
[ bessely(x, y), bessely(1, x^2), bessely(2, x - y), bessely(x^2, x*y)]

Решение дифференциального уравнения Бесселя для функций Бесселя

Решить это дифференциальное уравнение второго порядка. Решениями являются функции Бесселя первого и второго рода.

syms nu w(z)
dsolve(z^2*diff(w, 2) + z*diff(w) +(z^2 - nu^2)*w == 0)

ans =
C2*besselj(nu, z) + C3*bessely(nu, z)

Проверьте, что функция Бесселя второго рода является допустимым решением дифференциального уравнения Бесселя:

syms nu z
isAlways(z^2*diff(bessely(nu, z), z, 2) + z*diff(bessely(nu, z), z)...
 + (z^2 - nu^2)*bessely(nu, z) == 0)

ans =
  logical
   1

Особые значения функции Бесселя второго рода

Если первый параметр является нечетным целым числом, умноженным на 1/2, bessely переписывает функции Бесселя в терминах элементарных функций:

syms x
bessely(1/2, x)

ans =
-(2^(1/2)*cos(x))/(x^(1/2)*pi^(1/2))

bessely(-1/2, x)

ans =
(2^(1/2)*sin(x))/(x^(1/2)*pi^(1/2))

bessely(-3/2, x)

ans =
(2^(1/2)*(cos(x) - sin(x)/x))/(x^(1/2)*pi^(1/2))

bessely(5/2, x)

ans =
-(2^(1/2)*((3*sin(x))/x + cos(x)*(3/x^2 - 1)))/(x^(1/2)*pi^(1/2))

Дифференцирование функций Бесселя второго рода

Дифференцируйте выражения, включающие функции Бесселя второго рода:

syms x y
diff(bessely(1, x))
diff(diff(bessely(0, x^2 + x*y -y^2), x), y)

ans =
bessely(0, x) - bessely(1, x)/x
 
ans =
- bessely(1, x^2 + x*y - y^2) -...
(2*x + y)*(bessely(0, x^2 + x*y - y^2)*(x - 2*y) -...
(bessely(1, x^2 + x*y - y^2)*(x - 2*y))/(x^2 + x*y - y^2))

Поиск функции Бесселя для матричного входа

Функции bessely для матрицы A и значение 1/2. Результатом является матрица функций Бесселя bessely(1/2, A(i,j)).

syms x
A = [-1, pi; x, 0];
bessely(1/2, A)

ans =
[         (2^(1/2)*cos(1)*1i)/pi^(1/2), 2^(1/2)/pi]
[ -(2^(1/2)*cos(x))/(x^(1/2)*pi^(1/2)),        Inf]

Постройте графики функций Бесселя второго рода

Постройте график функций Бесселя второго рода для $$v=0,1,2,3$$.

syms x y
fplot(bessely(0:3,x))
axis([0 10 -1 0.6])
grid on

ylabel('Y_v(x)')
legend('Y_0','Y_1','Y_2','Y_3', 'Location','Best')
title('Bessel functions of the second kind')