Документация

Выражения с одной переменной

Чтобы дифференцировать символьное выражение, используйте diff команда. Следующий пример иллюстрирует, как взять первую производную от символического выражения:

syms x
f = sin(x)^2;
diff(f)

ans =
2*cos(x)*sin(x)

Частные производные

Для многомерных выражений можно задать переменную дифференцирования. Если вы не задаете никакую переменную, MATLAB^® выбирает переменную по умолчанию по близости к букве x:

syms x y
f = sin(x)^2 + cos(y)^2;
diff(f)

ans =
2*cos(x)*sin(x)

Полный набор правил MATLAB применяется для выбора переменной по умолчанию, см. Раздел «Поиск символьной переменной по умолчанию».

Чтобы дифференцировать символическое выражение f относительно переменной y, введите:

syms x y
f = sin(x)^2 + cos(y)^2;
diff(f, y)

ans =
-2*cos(y)*sin(y)

Вторая частная и смешанная производные

Чтобы взять вторую производную от символьного выражения f относительно переменной y, введите:

syms x y
f = sin(x)^2 + cos(y)^2;
diff(f, y, 2)

ans =
2*sin(y)^2 - 2*cos(y)^2

Вы получаете тот же результат, взяв производную дважды: diff(diff(f, y)). Чтобы взять смешанные производные, используйте две команды дифференцирования. Для примера:

syms x y
f = sin(x)^2 + cos(y)^2;
diff(diff(f, y), x)

ans =
0

Неопределенные интегралы выражений с одной переменной

Предположим, вы хотите интегрировать символическое выражение. Первым шагом является создание символического выражения:

syms x
f = sin(x)^2;

Чтобы найти неопределенный интеграл, введите

int(f)

ans =
x/2 - sin(2*x)/4

Неопределенные интегралы многомерных выражений

Если выражение зависит от нескольких символьных переменных, можно обозначить переменную интегрирования. Если вы не задаете никакую переменную, MATLAB выбирает переменную по умолчанию по близости к букве x:

syms x y n
f = x^n + y^n;
int(f)

ans =
x*y^n + (x*x^n)/(n + 1)

Полный набор правил MATLAB применяется для выбора переменной по умолчанию, см. Раздел «Поиск символьной переменной по умолчанию».

Можно также интегрировать выражение f = x^n + y^n относительно y

syms x y n
f = x^n + y^n;
int(f, y)

ans =
x^n*y + (y*y^n)/(n + 1)

Если переменное интегрирование n, введите

syms x y n
f = x^n + y^n;
int(f, n)

ans =
x^n/log(x) + y^n/log(y)

Определенные интегралы

Чтобы найти определенный интеграл, передайте пределы интегрирования как последние два аргумента int функция:

syms x y n
f = x^n + y^n;
int(f, 1, 10)

ans =
piecewise(n == -1, log(10) + 9/y, n ~= -1,...
 (10*10^n - 1)/(n + 1) + 9*y^n)

Если MATLAB не может найти закрытую форму интеграла

Если на int функция не может вычислить интеграл, она возвращает неразрешенный интеграл:

syms x
int(sin(sinh(x)))

ans =
int(sin(sinh(x)), x)

Решение Алгебраических уравнений с одной символьной переменной

Используйте знак двойного равенства (= =), чтобы задать уравнение. Тогда можно solve уравнение путем вызова функции решения. Для примера решите это уравнение:

syms x
solve(x^3 - 6*x^2 == 6 - 11*x)

ans =
 1
 2
 3

Если вы не задаете правую сторону уравнения, solve принимает, что он равен нулю:

syms x
solve(x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6)

ans =
 1
 2
 3

Решение Алгебраических уравнений с несколькими символьными переменными

Если уравнение содержит несколько символьных переменных, можно задать переменную, для которой это уравнение должно быть решено. Для примера решите это многомерное уравнение относительно y:

syms x y
solve(6*x^2 - 6*x^2*y + x*y^2 - x*y + y^3 - y^2 == 0, y)

ans =
    1
  2*x
 -3*x

Если вы не задаете никакой переменной, вы получаете решение уравнения для ближайшего к x алфавита переменная. Полный набор правил MATLAB применяется для выбора переменной по умолчанию, см. в разделе Поиск символьной переменной по умолчанию.

Решите системы алгебраических уравнений

Можно также решить системы уравнений. Для примера:

syms x y z
[x, y, z] = solve(z == 4*x, x == y, z == x^2 + y^2)

x =
 0
 2
 
y =
 0
 2
 
z =
 0
 8

Замена символьных переменных числами

Можно заменить символьную переменную числовым значением при помощи subs функция. Для примера вычислите символическое выражение f в точке x  = 1/3:

syms x
f = 2*x^2 - 3*x + 1;
subs(f, 1/3)

ans =
2/9

The subs функция не изменяет исходное выражение f:

f

f =
2*x^2 - 3*x + 1

Замена в многомерных выражениях

Когда ваше выражение содержит более одной переменной, можно задать переменную, для которой вы хотите сделать замену. Для примера, чтобы заменить значение x = 3 в символическом выражении

syms x y
f = x^2*y + 5*x*sqrt(y);

введите команду

subs(f, x, 3)

ans =
9*y + 15*y^(1/2)

Замените одну символьную переменную другой

Можно также заменить одну символьную переменную другой символьной переменной. Для примера заменить переменную y с переменной x, введите

subs(f, y, x)

ans =
x^3 + 5*x^(3/2)

Подстановка матрицы в полином

Можно также заменить матрицу в символьный полином с числовыми коэффициентами. Существует два способа подстановки матрицы в полином: элемент за элементом и согласно правилам матричного умножения.

Поэлементная замена.  Чтобы заменить матрицу на каждом элементе, используйте subs команда:

syms x
f = x^3 - 15*x^2 - 24*x + 350;
A = [1 2 3; 4 5 6];
subs(f,A)

ans =
[ 312, 250,  170]
[  78, -20, -118]

Можно выполнить поэлементную замену для прямоугольных или квадратных матриц.

Замена в матричном смысле.  Если вы хотите заменить матрицу на полином с помощью стандартных правил умножения матриц, матрица должна быть квадратной. Для примера можно заменить магический квадрат A в полином f:

Подстановка элементов массива символьной матрицы

Чтобы заменить набор элементов в символьной матрице, также используйте subs команда. Предположим, что вы хотите заменить некоторые элементы массива символьной циркулянтной матрицы A

syms a b c
A = [a b c; c a b; b c a]

A =
[ a, b, c]
[ c, a, b]
[ b, c, a]

Для замены элемента (2, 1) A с beta и переменной b по всей матрице с переменными alpha, введите

alpha = sym('alpha');
beta = sym('beta');
A(2,1) = beta;
A = subs(A,b,alpha)

Результатом является матрица:

A =
[     a, alpha,     c]
[  beta,     a, alpha]
[ alpha,     c,     a]

Для получения дополнительной информации см. Раздел «Подстановка элементов в символьных матрицах».

Явный график функций

Создайте 2D график при помощи fplot. Постройте график выражения $$x^3-6x^2+11x-6$$.

syms x
f = x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6;
fplot(f)

Добавьте метки для осей X и оси Y Сгенерируйте заголовок при помощи texlabel(f). Отображение сетки при помощи grid on. Для получения дополнительной информации смотрите Добавить заголовок и подписи по осям к диаграмме.

xlabel('x')
ylabel('y')
title(texlabel(f))
grid on

Неявный график функций

Постройте графики уравнений и неявных функций с помощью fimplicit.

Постройте график уравнения $$(x^2+y^2{)}^4=(x^2-y^2{)}^2$$ $$-1<x<1$$.

syms x y
eqn = (x^2 + y^2)^4 == (x^2 - y^2)^2;
fimplicit(eqn, [-1 1])

3-D график

Постройте график 3-D параметрических линий при помощи fplot3.

Постройте график параметрической линии

syms t
fplot3(t^2*sin(10*t), t^2*cos(10*t), t)

Создание объемной поверхностной диаграммы

Создайте поверхность 3-D при помощи fsurf.

Постройте график параболоида $$z=x^2+y^2$$.

syms x y
fsurf(x^2 + y^2)