harmonic

Гармоническая функция (гармоническое число)

Синтаксис

harmonic(x)

Описание

harmonic(x) возвращает гармоническую функцию x. Для целочисленных значений x, harmonic(x) генерирует гармонические числа.

Примеры

Сгенерируйте гармонические числа

Сгенерируйте первые 10 гармонических чисел.

harmonic(sym(1:10))

ans =
[ 1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20, 363/140, 761/280, 7129/2520, 7381/2520]

Гармоническая функция для числовых и символьных аргументов

Найдите гармоническую функцию для этих чисел. Поскольку это не символические объекты, вы получаете результаты с плавающей точкой.

harmonic([2 i 13/3])

ans =
   1.5000 + 0.0000i   0.6719 + 1.0767i   2.1545 + 0.0000i

Найдите гармоническую функцию символически путем преобразования чисел в символические объекты.

y = harmonic(sym([2 i 13/3]))

y =
[ 3/2, harmonic(1i), 8571/1820 - (pi*3^(1/2))/6 - (3*log(3))/2]

Если знаменатель x является 2, 3, 4 или 6 и |<reservedrangesplaceholder0>| < 500, затем результат выражается в терминахpi и log.

Использовать vpa для аппроксимации полученных результатов.

vpa(y)

ans =
[ 1.5, 0.67186598552400983787839057280431...
 + 1.07667404746858117413405079475i,...
 2.1545225442213858782694336751358]

Для |<reservedrangesplaceholder1>| > 1000, harmonic возвращает вызов функции в том виде, в котором он есть. Использовать vpa принудительно harmonic для вычисления вызова функции.

harmonic(sym(1001))
vpa(harmonic(sym(1001)))

ans =
harmonic(1001)
ans =
7.4864698615493459116575172053329

Гармоническая функция для специальных значений

Найдите гармоническую функцию для специальных значений.

harmonic([0 1 -1 Inf -Inf])

ans =
     0     1   Inf   Inf   NaN

Гармоническая функция для символьных функций

Найдите гармоническую функцию для символьной функции f.

syms f(x)
f(x) = exp(x) + tan(x);
y = harmonic(f)

y(x) =
harmonic(exp(x) + tan(x))

Гармоническая функция для символьных векторов и матриц

Найдите гармоническую функцию для элементов вектора V и матричные M.

syms x
V = [x sin(x) 3*i];
M = [exp(i*x) 2; -6 Inf];
harmonic(V)
harmonic(M)

ans =
[ harmonic(x), harmonic(sin(x)), harmonic(3i)]
ans =
[ harmonic(exp(x*1i)), 3/2]
[                Inf, Inf]

Построение гармонической функции

Постройте график функции гармоники из x = -5 к x = 5.

syms x
fplot(harmonic(x),[-5 5])
grid on

Figure contains an axes. The axes contains an object of type functionline.

Дифференцируйте и найдите предел гармонической функции

Функции diff и limit выражения указателя, содержащие harmonic.

Найдите вторую производную harmonic(x^2+1).

syms x
diff(harmonic(x^2+1),x,2)

ans =
2*psi(1, x^2 + 2) + 4*x^2*psi(2, x^2 + 2)

Найдите предел harmonic(x) как x стремится к ∞ и (x+1)*harmonic(x) как x стремится к -1.

syms x
limit(harmonic(x),Inf)
limit((x+1)*harmonic(x),-1)

ans =
Inf
ans =
-1

Расширение гармонической функции ряда Тейлора

Использование taylor расширить гармоническую функцию в терминах ряда Тейлора.

syms x
taylor(harmonic(x))

ans =
(pi^6*x^5)/945 - zeta(5)*x^4 + (pi^4*x^3)/90...
 - zeta(3)*x^2 + (pi^2*x)/6

Расширение функции гармоники

Использование expand расширить гармоническую функцию.

syms x
expand(harmonic(2*x+3))

ans =
harmonic(x + 1/2)/2 + log(2) + harmonic(x)/2 - 1/(2*(x + 1/2))...
 + 1/(2*x + 1) + 1/(2*x + 2) + 1/(2*x + 3)

Входные параметры

свернуть все

`x` - Вход
число | вектор | матрица | многомерный массив | символьная переменная | символьное выражение | символьная функция | символьный вектор | символьная матрица | символьный N-D массив

Вход, заданный как число, вектор, матрица или как многомерный массив или символьная переменная, выражение, функция, вектор, матрица или многомерный массив.

Подробнее о

свернуть все

Гармоническая функция

Гармоническая функция для x определяется как

$harmonic (x) = Σ_{k = 1}^{x} \frac{1}{k}$

Это также определяется как

$harmonic (x) = Ψ (x + 1) + γ$

where В (x) является полигамма-функцией, а β - константой Эйлера-Маскерони .

Алгоритмы

Гармоническая функция задана для всех комплексных аргументов z кроме отрицательных целых чисел -1, -2,... где происходит особенность.

Если x имеет знаменатель 1, 2, 3, 4 или 6, затем вычисляется и возвращается явный результат. Для других рациональных чисел harmonic использует функциональное уравнение $harmonic (x + 1) = harmonic (x) + \frac{1}{x}$ чтобы получить результат с аргументом, x из интервала [0, 1].

expand расширяет harmonic использование уравнений $harmonic (x + 1) = harmonic (x) + \frac{1}{x}$ , $harmonic (- x) = harmonic (x) - \frac{1}{x} + π \cot (π x)$ , и формулу умножения Гаусса для harmonic(kx), где k является целым числом.

harmonic реализует следующие явные формулы:

$harmonic (\frac{- 1}{2}) = - 2 \ln (2)$

$harmonic (- \frac{2}{3}) = - \frac{3}{2} \ln (3) - \frac{\sqrt{3}}{6} π$

$harmonic (- \frac{1}{3}) = - \frac{3}{2} \ln (3) + \frac{\sqrt{3}}{6} π$

$harmonic (\frac{- 3}{4}) = - 3 \ln (2) - \frac{π}{2}$

$harmonic (\frac{- 1}{4}) = - 3 \ln (2) + \frac{π}{2}$

$harmonic (\frac{- 5}{6}) = - 2 \ln (2) - \frac{3}{2} \ln (3) - \frac{\sqrt{3}}{2} π$

$harmonic (\frac{- 1}{6}) = - 2 \ln (2) - \frac{3}{2} \ln (3) + \frac{\sqrt{3}}{2} π$

$harmonic (0) = 0$

$harmonic (\frac{1}{2}) = 2 - 2 \ln (2)$

$harmonic (\frac{1}{3}) = 3 - \frac{3}{2} \ln (3) - \frac{\sqrt{3}}{6} π$

$harmonic (\frac{2}{3}) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \ln (3) + \frac{\sqrt{3}}{6} π$

$harmonic (\frac{1}{4}) = 4 - 3 \ln (2) - \frac{π}{2}$

$harmonic (\frac{3}{4}) = \frac{4}{3} - 3 \ln (2) + \frac{π}{2}$

$harmonic (\frac{1}{6}) = 6 - 2 \ln (2) - \frac{3}{2} \ln (3) - \frac{\sqrt{3}}{2} π$

$harmonic (\frac{5}{6}) = \frac{6}{5} - 2 \ln (2) - \frac{3}{2} \ln (3) + \frac{\sqrt{3}}{2} π$

$harmonic (1) = 1$

$harmonic (\infty) = \infty$

$harmonic (- \infty) = N a N$

См. также

Введенный в R2014a

Документация