Документация

Фильтры реконструкции

Фильтрующая часть процесса реконструкции также имеет некоторое обсуждение, потому что именно выбор фильтров имеет решающее значение для достижения идеальной реконструкции исходного сигнала.

Понижающая дискретизация компонентов сигнала, выполненная во время фазы разложения, вносит искажение, называемое сглаживанием. Оказывается, путем тщательного выбора фильтров для фаз разложения и реконструкции, которые тесно связаны (но не идентичны), мы можем «отменить» эффекты сглаживания.

Техническая дискуссия о том, как проектировать эти фильтры, доступна на странице 347 книги Strang and Nguyen Wavelets and Filter Banks. Низко- и высокочастотные фильтры разложения (L и H), вместе со связанными с ними фильтрами реконструкции (L' и H'), образуйте систему так называемых квадратурных зеркальных фильтров:

Восстановление приближений и деталей

Мы видели, что можно восстановить наш исходный сигнал из коэффициентов приближений и деталей.

Также возможно восстановить сами приближения и детали из их векторов коэффициентов. В качестве примера давайте рассмотрим, как бы мы восстановили приближение первого уровня A1 от вектора коэффициентов cA1.

Передадим вектор коэффициентов cA1 через тот же процесс мы использовали для восстановления исходного сигнала. Однако вместо объединения с деталями уровня один cD1, мы питаем в нулевом векторе вместо вектора коэффициентов детализации:

Процесс приводит к восстановленному приближению A1, которая имеет ту же длину, что и исходный сигнал S и что является его реальным приближением.

Точно так же мы можем восстановить деталь первого уровня D1, используя аналогичный процесс:

Восстановленные детали и приближения являются истинными составляющими исходного сигнала. На самом деле, мы находим, когда мы объединяем их, что

Обратите внимание, что векторы коэффициентов cA1 и cD1 - потому что они были получены с помощью понижающей дискретизации и составляют только половину длины исходного сигнала - не могут быть непосредственно объединены, чтобы воспроизвести сигнал. Необходимо восстановить приближения и детали перед их объединением.

Распространяя этот метод на компоненты многоуровневого анализа, мы обнаруживаем, что аналогичные отношения сохраняются для всех восстановленных составляющих сигнала. То есть существует несколько способов повторной сборки исходного сигнала:

Вейвлеты из сопряженных зеркальных фильтров

В разделе «Фильтры реконструкции» мы говорили о важности выбора правильных фильтров. На самом деле, выбор фильтров не только определяет, возможно ли совершенное восстановление, но и определяет форму вейвлета, который мы используем для выполнения анализа.

Чтобы создать вейвлет некоторой практической утилиты, вы редко начинаете с рисования формы волны. Вместо этого обычно имеет больше смысла проектировать соответствующие квадратурные зеркальные фильтры, а затем использовать их для создания формы волны. Посмотрим, как это делается, ориентируясь на пример.

Рассмотрим фильтр реконструкции lowpass (L') для db2 вейвлет.

Коэффициенты фильтра могут быть получены из dbaux функция. Изменив порядок вектора масштабирующего фильтра и умножив каждый четный элемент (индексация от 1) на (-1), вы получите фильтр высоких частот.

Многократное увеличение дискретизации на два и свертка выхода с помощью масштабирующего фильтра создает вейвлет экстремальной фазы Daubechies.

 L = dbaux(2);
 H = wrev(L).*[1 -1 1 -1];
 HU = dyadup(H,0);
 HU = conv(HU,L);
 plot(HU); title('1st Iteration');
 H1 = conv(dyadup(HU,0),L);
 H2 = conv(dyadup(H1,0),L);
 H3 = conv(dyadup(H2,0),L);
 H4 = conv(dyadup(H3,0),L);
 figure;
 for k =1:4
 subplot(2,2,k);
 eval(['plot(H' num2str(k) ')']);
 axis tight;
 end

Кривая начинает постепенно больше напоминать db2 вейвлет. Это означает, что форма вейвлета полностью определяется коэффициентами восстановительных фильтров.

Эти отношения имеют глубокие последствия. Это означает, что вы не можете выбрать просто любую форму, назвать ее вейвлет и выполнить анализ. По крайней мере, вы не можете выбрать произвольный вейвлет волны, если хотите иметь возможность точно восстановить исходный сигнал. Вы вынуждены выбрать форму, определенную фильтрами квадратурного зеркального разложения.