chebyshevT

Полиномы Чебышева первого вида

Синтаксис

Описание

пример

chebyshevT(n,x) представляет nПолином Чебышева степени th первого вида в точке x.

Примеры

Сначала пять полиномов Чебышева первого вида

Найдите первые пять Полиномов Чебышева первого вида для переменной x.

syms x
chebyshevT([0, 1, 2, 3, 4], x)
ans =
[ 1, x, 2*x^2 - 1, 4*x^3 - 3*x, 8*x^4 - 8*x^2 + 1]

Полиномы Чебышева для числовых и символьных аргументов

В зависимости от его аргументов, chebyshevT возвращает или точные символьные результаты с плавающей точкой.

Найдите значение Полинома Чебышева пятой степени первого вида в этих точках. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, chebyshevT возвращает результаты с плавающей точкой.

chebyshevT(5, [1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4])
ans =
    0.7428    0.9531    0.9918    0.5000   -0.4856   -0.8906

Найдите значение Полинома Чебышева пятой степени первого вида для тех же чисел преобразованным в символьные объекты. Для символьных чисел, chebyshevT возвращает точные символьные результаты.

chebyshevT(5, sym([1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4]))
ans =
[ 361/486, 61/64, 241/243, 1/2, -118/243, -57/64]

Оцените полиномы Чебышева с числами с плавающей запятой

Оценка с плавающей точкой Полиномов Чебышева прямыми вызовами chebyshevT численно устойчиво. Однако сначала вычисление полинома с помощью символьной переменной, и затем заменяя значениями переменной точности в это выражение может быть численно неустойчивым.

Найдите значение Полинома Чебышева 500-й степени первого вида в 1/3 и vpa(1/3). Оценка с плавающей точкой численно устойчива.

chebyshevT(500, 1/3)
chebyshevT(500, vpa(1/3))
ans =
    0.9631
 
ans =
0.963114126817085233778571286718

Теперь найдите символьный полиномиальный T500 = chebyshevT(500, x), и замените x = vpa(1/3) в результат. Этот подход численно неустойчив.

syms x
T500 = chebyshevT(500, x);
subs(T500, x, vpa(1/3))
ans =
-3293905791337500897482813472768.0

Аппроксимируйте полиномиальные коэффициенты при помощи vpa, и затем замените x = sym(1/3) в результат. Этот подход также численно неустойчив.

subs(vpa(T500), x, sym(1/3))
ans =
1202292431349342132757038366720.0

Постройте полиномы Чебышева первого вида

Постройте первые пять Полиномов Чебышева первого вида.

syms x y
fplot(chebyshevT(0:4,x))
axis([-1.5 1.5 -2 2])
grid on

ylabel('T_n(x)')
legend('T_0(x)','T_1(x)','T_2(x)','T_3(x)','T_4(x)','Location','Best')
title('Chebyshev polynomials of the first kind')

Figure contains an axes object. The axes object with title Chebyshev polynomials of the first kind contains 5 objects of type functionline. These objects represent T_0(x), T_1(x), T_2(x), T_3(x), T_4(x).

Входные параметры

свернуть все

Степень полинома в виде неотрицательного целого числа, символьной переменной, выражения или функции, или как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Точка оценки в виде номера, символьного числа, переменной, выражения или функции, или как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Больше о

свернуть все

Полиномы Чебышева первого вида

  • Полиномы Чебышева первого вида заданы как T n (x) = because(n *arccos (x)).

    Эти полиномы удовлетворяют формуле рекурсии

    T(0,x)=1,T(1,x)=x,T(n,x)=2xT(n1,x)T(n2,x)

  • Полиномы Чебышева первого вида являются ортогональными на интервале-1 ≤ x ≤ 1 относительно функции веса w(x)=11x2.

    11T(n,x)T(m,x)1x2dx={0если nmπесли n=m=0π2если n=m0.

  • Полиномы Чебышева первого вида являются особыми случаями полиномов Якоби

    T(n,x)=22n(n!)2(2n)!P(n,12,12,x)

    и полиномы Gegenbauer

    T(n,x)={12lima0n+aaG(n,a,x)если n0lima0G(0,a,x)=1если n=0

Советы

  • chebyshevT возвращает результаты с плавающей точкой для числовых аргументов, которые не являются символьными объектами.

  • chebyshevT действия, поэлементные на нескалярных входных параметрах.

  • По крайней мере один входной параметр должен быть скаляром, или оба аргумента должны быть векторами или матрицами, одного размера. Если один входной параметр является скаляром, и другой является вектором или матрицей, то chebyshevT расширяет скаляр в вектор или матрицу одного размера с другим аргументом со всеми элементами, равными тому скаляру.

Ссылки

[1] Hochstrasser, U. W. “Ортогональные Полиномы”. Руководство Математических функций с Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. (М. Абрамовиц и я. А. Стегун, редакторы). Нью-Йорк: Дувр, 1972.

[2] Cohl, Говард С. и Коннор Маккензи. “Обобщения и Специализации Производящих функций для Якоби, Gegenbauer, Полиномов Чебышева и Полиномов лежандра с Определенными интегралами”. Журнал Классического Анализа, № 1 (2013): 17–33. https://doi.org/10.7153/jca-03-02.

Смотрите также

| | | | |

Введенный в R2014b
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте