gegenbauerC

Синтаксис

Описание

пример

gegenbauerC(n,a,x) представляет nth-степень Gegenbauer (ультрасферический) полином параметром a в точке x.

Примеры

Сначала четыре полинома Gegenbauer

Найдите первые четыре полинома Gegenbauer для параметра a и переменная x.

syms a x
gegenbauerC([0, 1, 2, 3], a, x)
ans =
[ 1, 2*a*x, (2*a^2 + 2*a)*x^2 - a,...
((4*a^3)/3 + 4*a^2 + (8*a)/3)*x^3 + (- 2*a^2 - 2*a)*x]

Полиномы Gegenbauer для числовых и символьных аргументов

В зависимости от его аргументов, gegenbauerC возвращает или точные символьные результаты с плавающей точкой.

Найдите значение пятой степени полиномом Gegenbauer для параметра a = 1/3 в этих точках. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, gegenbauerC возвращает результаты с плавающей точкой.

gegenbauerC(5, 1/3, [1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4])
ans =
    0.1520    0.1911    0.1914    0.0672   -0.1483   -0.2188

Найдите значение пятой степени полиномом Gegenbauer для тех же чисел преобразованный в символьные объекты. Для символьных чисел, gegenbauerC возвращает точные символьные результаты.

gegenbauerC(5, 1/3, sym([1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4]))
ans =
[ 26929/177147, 4459/23328, 33908/177147, 49/729, -26264/177147, -7/32]

Оцените полиномы Чебышева с числами с плавающей запятой

Оценка с плавающей точкой полиномов Gegenbauer прямыми вызовами gegenbauerC численно устойчиво. Однако сначала вычисление полинома с помощью символьной переменной, и затем заменяя значениями переменной точности в это выражение может быть численно неустойчивым.

Найдите значение 500-й степени полиномом Gegenbauer для параметра 4 в 1/3 и vpa(1/3). Оценка с плавающей точкой численно устойчива.

gegenbauerC(500, 4, 1/3)
gegenbauerC(500, 4, vpa(1/3))
ans =
  -1.9161e+05
 
ans =
-191609.10250897532784888518393655

Теперь найдите символьный полиномиальный C500 = gegenbauerC(500, 4, x), и замените x = vpa(1/3) в результат. Этот подход численно неустойчив.

syms x
C500 = gegenbauerC(500, 4, x);
subs(C500, x, vpa(1/3))
ans =
-8.0178726380235741521208852037291e+35

Аппроксимируйте полиномиальные коэффициенты при помощи vpa, и затем замените x = sym(1/3) в результат. Этот подход также численно неустойчив.

subs(vpa(C500), x, sym(1/3))
ans =
-8.1125412405858470246887213923167e+36

Постройте полиномы Gegenbauer

Постройте первые пять полиномов Gegenbauer для параметра a = 3.

syms x y
fplot(gegenbauerC(0:4,3,x))
axis([-1 1 -10 10])
grid on

ylabel('G_n^3(x)')
title('Gegenbauer polynomials')
legend('G_0^3(x)', 'G_1^3(x)', 'G_2^3(x)', 'G_3^3(x)', 'G_4^3(x)',...
                                               'Location', 'Best')

Figure contains an axes object. The axes object with title Gegenbauer polynomials contains 5 objects of type functionline. These objects represent G_0^3(x), G_1^3(x), G_2^3(x), G_3^3(x), G_4^3(x).

Входные параметры

свернуть все

Степень полинома в виде неотрицательного целого числа, символьной переменной, выражения или функции, или как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Параметр в виде неотрицательного целого числа, символьной переменной, выражения или функции, или как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Точка оценки в виде номера, символьного числа, переменной, выражения или функции, или как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Больше о

свернуть все

Полиномы Gegenbauer

  • Полиномы Gegenbauer заданы этой формулой рекурсии.

    G(0,a,x)=1,G(1,a,x)=2ax,G(n,a,x)=2x(n+a1)nG(n1,a,x)n+2a2nG(n2,a,x)

  • Для всего действительного a > -1/2, полиномы Gegenbauer являются ортогональными на интервале-1 ≤ x ≤ 1 относительно функции веса w(x)=(1x2)a12.

    11G(n,a,x)G(m,a,x)(1x2)a1/2dx={0если nmπ212aΓ(n+2a)n!(n+a)(Γ(a))2если n=m.

  • Полиномы Чебышева первых и вторых видов являются особыми случаями полиномов Gegenbauer.

    T(n,x)={12lima0n+aaG(n,a,x)если n0lima0G(0,a,x)=1если n=0

    U(n,x)=G(n,1,x)

  • Полиномы лежандра являются также особым случаем полиномов Gegenbauer.

    P(n,x)=G(n,12,x)

Советы

  • gegenbauerC возвращает результаты с плавающей точкой для числовых аргументов, которые не являются символьными объектами.

  • gegenbauerC действия, поэлементные на нескалярных входных параметрах.

  • Все нескалярные аргументы должны иметь тот же размер. Если один или два входных параметра являются нескалярными, то gegenbauerC расширяет скаляры в векторы или матрицы одного размера с нескалярными аргументами, со всеми элементами, равными соответствующему скаляру.

Ссылки

[1] Hochstrasser, U. W. “Ортогональные Полиномы”. Руководство Математических функций с Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. (М. Абрамовиц и я. А. Стегун, редакторы). Нью-Йорк: Дувр, 1972.

[2] Cohl, Говард С. и Коннор Маккензи. “Обобщения и Специализации Производящих функций для Якоби, Gegenbauer, Полиномов Чебышева и Полиномов лежандра с Определенными интегралами”. Журнал Классического Анализа, № 1 (2013): 17–33. https://doi.org/10.7153/jca-03-02.

Смотрите также

| | | | |

Введенный в R2014b
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте