chebyshevU

Полиномы Чебышева второго вида

Синтаксис

Описание

пример

chebyshevU(n,x) представляет nПолином Чебышева степени th второго вида в точке x.

Примеры

Сначала пять полиномов Чебышева второго вида

Найдите первые пять Полиномов Чебышева второго вида для переменной x.

syms x
chebyshevU([0, 1, 2, 3, 4], x)
ans =
[ 1, 2*x, 4*x^2 - 1, 8*x^3 - 4*x, 16*x^4 - 12*x^2 + 1]

Полиномы Чебышева для числовых и символьных аргументов

В зависимости от его аргументов, chebyshevU возвращает или точные символьные результаты с плавающей точкой.

Найдите значение Полинома Чебышева пятой степени второго вида в этих точках. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, chebyshevU возвращает результаты с плавающей точкой.

chebyshevU(5, [1/6, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5])
ans =
    0.8560    0.9465    0.0000   -1.2675   -1.0982

Найдите значение Полинома Чебышева пятой степени второго вида для тех же чисел преобразованным в символьные объекты. Для символьных чисел, chebyshevU возвращает точные символьные результаты.

chebyshevU(5, sym([1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5]))
ans =
[ 208/243, 33/32, 230/243, 0, -308/243, -3432/3125]

Оцените полиномы Чебышева с числами с плавающей запятой

Оценка с плавающей точкой Полиномов Чебышева прямыми вызовами chebyshevU численно устойчиво. Однако сначала вычисление полинома с помощью символьной переменной, и затем заменяя значениями переменной точности в это выражение может быть численно неустойчивым.

Найдите значение Полинома Чебышева 500-й степени второго вида в 1/3 и vpa(1/3). Оценка с плавающей точкой численно устойчива.

chebyshevU(500, 1/3)
chebyshevU(500, vpa(1/3))
ans =
    0.8680
 
ans =
0.86797529488884242798157148968078

Теперь найдите символьный полиномиальный U500 = chebyshevU(500, x), и замените x = vpa(1/3) в результат. Этот подход численно неустойчив.

syms x
U500 = chebyshevU(500, x);
subs(U500, x, vpa(1/3))
ans =
63080680195950160912110845952.0

Аппроксимируйте полиномиальные коэффициенты при помощи vpa, и затем замените x = sym(1/3) в результат. Этот подход также численно неустойчив.

subs(vpa(U500), x, sym(1/3))
ans =
-1878009301399851172833781612544.0

Постройте полиномы Чебышева второго вида

Постройте первые пять Полиномов Чебышева второго вида.

syms x y
fplot(chebyshevU(0:4, x))
axis([-1.5 1.5 -2 2])
grid on

ylabel('U_n(x)')
legend('U_0(x)', 'U_1(x)', 'U_2(x)', 'U_3(x)', 'U_4(x)', 'Location', 'Best')
title('Chebyshev polynomials of the second kind')

Figure contains an axes object. The axes object with title Chebyshev polynomials of the second kind contains 5 objects of type functionline. These objects represent U_0(x), U_1(x), U_2(x), U_3(x), U_4(x).

Входные параметры

свернуть все

Степень полинома в виде неотрицательного целого числа, символьной переменной, выражения или функции, или как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Точка оценки в виде номера, символьного числа, переменной, выражения или функции, или как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Больше о

свернуть все

Полиномы Чебышева второго вида

  • Полиномы Чебышева второго вида определяются следующим образом:

    U(n,x)=sin((n+1)acos(x))sin(acos(x))

    Эти полиномы удовлетворяют формуле рекурсии

    U(0,x)=1,U(1,x)=2x,U(n,x)=2xU(n1,x)U(n2,x)

  • Полиномы Чебышева второго вида являются ортогональными на интервале-1 ≤ x ≤ 1 относительно функции веса w(x)=1x2.

    11U(n,x)U(m,x)1x2dx={0если nmπ2если n=m.

  • Полиномы Чебышева второго вида являются особым случаем полиномов Якоби

    U(n,x)=22nn!(n+1)!(2n+1)!P(n,12,12,x)

    и полиномы Gegenbauer

    U(n,x)=G(n,1,x)

Советы

  • chebyshevU возвращает результаты с плавающей точкой для числовых аргументов, которые не являются символьными объектами.

  • chebyshevU действия, поэлементные на нескалярных входных параметрах.

  • По крайней мере один входной параметр должен быть скаляром, или оба аргумента должны быть векторами или матрицами, одного размера. Если один входной параметр является скаляром, и другой является вектором или матрицей, то chebyshevU расширяет скаляр в вектор или матрицу одного размера с другим аргументом со всеми элементами, равными тому скаляру.

Ссылки

[1] Hochstrasser, U. W. “Ортогональные Полиномы”. Руководство Математических функций с Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. (М. Абрамовиц и я. А. Стегун, редакторы). Нью-Йорк: Дувр, 1972.

[2] Cohl, Говард С. и Коннор Маккензи. “Обобщения и Специализации Производящих функций для Якоби, Gegenbauer, Полиномов Чебышева и Полиномов лежандра с Определенными интегралами”. Журнал Классического Анализа, № 1 (2013): 17–33. https://doi.org/10.7153/jca-03-02.

Смотрите также

| | | | |

Введенный в R2014b
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте