Сравните две образцовых спецификации для моделируемого образования и поступите данные. Неограниченная модель имеет следующий loglikelihood:

где

Таким образом, доход человека k, учитывая количество классов, что человеком k завершенный является Гамма, распределенная с формой $$\rho$$ и уровень $${\beta }_k$$. Ограниченные образцовые наборы $$\rho =1$$, который подразумевает, что доход человека k, учитывая количество человека классов k завершенный экспоненциально распределяется со средним значением $$\beta +x_k$$.

Ограниченная модель $$H_0:\rho =1$$. Сравнение этой модели к неограниченной модели с помощью lratiotest требует следующего:

Загрузите данные.

load Data_Income1
x = DataTable.EDU;
y = DataTable.INC;

Чтобы оценить неограниченные параметры модели, максимизировать $$l(\rho ,\beta )$$ относительно $$\rho$$ и $$\beta$$. Градиент $$l(\rho ,\beta )$$

где $$\psi (\rho )$$ дигамма-функция.

nLogLGradFun = @(theta) deal(-sum(-gammaln(theta(1)) - ...
    theta(1)*log(theta(2) + x) + (theta(1)-1)*log(y) - ...
    y./(theta(2)+x)),...
    -[sum(-psi(theta(1))+log(y./(theta(2)+x)));...
    sum(1./(theta(2)+x).*(y./(theta(2)+x)-theta(1)))]);

nLogLGradFun является анонимной функцией, которая возвращает отрицательный loglikelihood и градиент, учитывая вход theta, который содержит параметры $$\rho$$ и $$\beta$$, соответственно.

Численно оптимизируйте отрицательную функцию loglikelihood использование fmincon, который минимизирует целевую функцию, подвергающуюся ограничениям.

theta0 = randn(2,1); % Initial value for optimization
uLB = [0 -min(x)];   % Unrestricted model lower bound
uUB = [Inf Inf];     % Unrestricted model upper bound
options = optimoptions('fmincon','Algorithm','interior-point',...
    'FunctionTolerance',1e-10,'Display','off',...
    'SpecifyObjectiveGradient',true); % Optimization options

[uMLE,uLogL] = fmincon(nLogLGradFun,theta0,[],[],[],[],uLB,uUB,[],options);
uLogL = -uLogL;

uMLE является неограниченной оценкой наибольшего правдоподобия, и uLogL является loglikelihood максимумом.

Введите ограничение к loglikelihood путем установки соответствующих ограничений нижней и верхней границы $$\rho$$ к 1. Минимизируйте отрицательный, ограниченный loglikelihood.

dof = 1;           % Number of restrictions
rLB = [1 -min(x)]; % Restricted model lower bound
rUB = [1 Inf];     % Restricted model upper bound
[rMLE,rLogL] = fmincon(nLogLGradFun,theta0,[],[],[],[],rLB,rUB,[],options);
rLogL = -rLogL;

rMLE является неограниченной оценкой наибольшего правдоподобия, и rLogL является loglikelihood максимумом.

Используйте тест отношения правдоподобия, чтобы оценить, представляют ли данные достаточно свидетельств, чтобы способствовать неограниченной модели по ограниченной модели.

[h,pValue,stat] = lratiotest(uLogL,rLogL,dof)

h = logical
   1

pValue = 8.9146e-04

stat = 11.0404

pValue близко к 0, который указывает, что существуют убедительные доказательства, предполагающие, что неограниченная модель соответствует данным лучше, чем ограниченная модель.

Оцените образцовые спецификации путем тестирования вниз среди нескольких ограниченных моделей с помощью моделируемых данных. Истинная модель является ARMA (2,1)

где $${\epsilon }_t$$ является Гауссовым со средним значением 0 и отклонением 1.

Задайте истинную модель ARMA(2,1) и моделируйте 100 значений ответа.

TrueMdl = arima('AR',{0.9,-0.5},'MA',0.7,...
    'Constant',3,'Variance',1);
T = 100;
rng(1); % For reproducibility
y = simulate(TrueMdl,T);

Задайте неограниченную модель и модели кандидата для тестирования вниз.

Mdl = {arima(2,0,2),arima(2,0,1),arima(2,0,0),arima(1,0,2),arima(1,0,1),...
    arima(1,0,0),arima(0,0,2),arima(0,0,1)};
rMdlNames = {'ARMA(2,1)','AR(2)','ARMA(1,2)','ARMA(1,1)',...
    'AR(1)','MA(2)','MA(1)'};

Mdl является 1 7 массивом ячеек. Mdl{1} является неограниченной моделью, и все другие ячейки содержат модель кандидата.

Соответствуйте моделям кандидата к моделируемым данным.

logL = zeros(size(Mdl,1),1); % Preallocate loglikelihoods
dof = logL;                  % Preallocate degrees of freedom
for k = 1:size(Mdl,2)
    [EstMdl,~,logL(k)] = estimate(Mdl{k},y,'Display','off');
    dof(k) = 4 - (EstMdl.P + EstMdl.Q); % Number of restricted parameters
end
uLogL = logL(1);     
rLogL = logL(2:end); 
dof = dof(2:end);

uLogL и rLogL являются значениями неограниченного loglikelihood, оцененного в неограниченных и ограниченных оценках параметра модели, соответственно.

Примените тест отношения правдоподобия на 1%-м уровне значения, чтобы найти соответствующее, ограничил образцовую спецификацию (спецификации).

alpha = .01;
h = lratiotest(uLogL,rLogL,dof,alpha);
RestrictedModels = rMdlNames(~h)

RestrictedModels = 1x4 cell array
    {'ARMA(2,1)'}    {'ARMA(1,2)'}    {'ARMA(1,1)'}    {'MA(2)'}

Самые соответствующие ограниченные модели являются ARMA (2,1), ARMA (1,2), ARMA (1,1), или MA (2).

Можно протестировать вниз снова, но использовать ARMA (2,1) в качестве неограниченной модели. В этом случае необходимо удалить MA (2) из возможных ограниченных моделей.

Протестируйте, существуют ли значительные эффекты ДУГИ в моделируемом ряду ответа с помощью lratiotest. Значения параметров в этом примере произвольны.

Задайте модель AR (1) с ДУГОЙ (1) отклонение:

где

VarMdl = garch('ARCH',0.5,'Constant',1);
Mdl = arima('Constant',0,'Variance',VarMdl,'AR',0.9);

Mdl является полностью заданной моделью AR (1) с ДУГОЙ (1) отклонение.

Моделируйте преддемонстрационные и эффективные демонстрационные ответы от Mdl.

T = 100;
rng(1);  % For reproducibility
n = 2;   % Number of presample observations required for the gradient
[y,epsilon,condVariance] = simulate(Mdl,T + n);

psI = 1:n;             % Presample indices
esI = (n + 1):(T + n); % Estimation sample indices

epsilon является случайным путем инноваций от VarMdl. Программное обеспечение пропускает epsilon через Mdl, чтобы привести к случайному пути к ответу y.

Задайте неограниченную модель, принимающую, что условная средняя образцовая константа 0:

где $$h_t={\alpha }_0+{\alpha }_1{\epsilon }_{t-1}^2$$. Соответствуйте моделируемым данным (y) к неограниченной модели с помощью преддемонстрационных наблюдений.

UVarMdl = garch(0,1);
UMdl = arima('ARLags',1,'Constant',0,'Variance',UVarMdl);
[~,~,uLogL] = estimate(UMdl,y(esI),'Y0',y(psI),'E0',epsilon(psI),...
    'V0',condVariance(psI),'Display','off');

uLogL является максимальным значением неограниченной функции loglikelihood.

Задайте ограниченную модель, принимающую, что условная средняя образцовая константа 0:

где $$h_t={\alpha }_0$$. Соответствуйте моделируемым данным (y) к ограниченной модели с помощью преддемонстрационных наблюдений.

RVarMdl = garch(0,1);
RVarMdl.ARCH{1} = 0;
RMdl = arima('ARLags',1,'Constant',0,'Variance',RVarMdl);
[~,~,rLogL] = estimate(RMdl,y(esI),'Y0',y(psI),'E0',epsilon(psI),...
    'V0',condVariance(psI),'Display','off');

Структура RMdl совпадает с UMdl. Однако каждый параметр неизвестен, за исключением ограничения. Это ограничения равенства во время оценки. Можно интерпретировать RMdl как модель AR (1) с Гауссовыми инновациями, которые имеют среднее значение 0 и постоянное отклонение.

Протестируйте нулевую гипотезу это $${\alpha }_1=0$$ на 5%-м уровне значения по умолчанию с помощью lratoitest.

dof = (UMdl.P + UMdl.Q + UVarMdl.P + UVarMdl.Q) ...
    - (RMdl.P + RMdl.Q + RVarMdl.P + RVarMdl.Q);
[h,pValue,stat,cValue] = lratiotest(uLogL,rLogL,dof)

h = logical
   1

pValue = 6.7505e-04

stat = 11.5567

cValue = 3.8415

h = 1 указывает, что пустая, ограниченная модель должна быть отклонена в пользу альтернативной, неограниченной модели. pValue близко к 0, предполагая, что существуют убедительные доказательства для отклонения. stat является значением тестовой статистической величины хи-квадрата, и cValue является критическим значением для теста.