Симуляция Монте-Карло коррелированого актива возвращается
RetSeries = portsim(ExpReturn,ExpCovariance,NumObs)RetSeries = portsim(___,RetIntervals,NumSim,Method)RetSeries = portsim(ExpReturn,ExpCovariance,NumObs)NASSETS по NUMOBS последовательные интервалы наблюдения. Возвраты актива моделируются как пропорциональный шаг постоянного дрейфа, постоянных стохастических процессов энергозависимости, таким образом, аппроксимируя непрерывно-разовое геометрическое броуновское движение.
RetSeries = portsim(___,RetIntervals,NumSim,Method)
Этот пример показывает различие между Exact и методами Expected симуляции.
Рассмотрите портфель пяти активов со следующими ожидаемыми доходами, стандартными отклонениями, и корреляционная матрица на основе ежедневного актива возвращается (где ExpReturn и Sigmas разделены на 100, чтобы преобразовать проценты в возвраты).
ExpReturn = [0.0246 0.0189 0.0273 0.0141 0.0311]/100;
Sigmas = [0.9509 1.4259 1.5227 1.1062 1.0877]/100;
Correlations = [1.0000 0.4403 0.4735 0.4334 0.6855
0.4403 1.0000 0.7597 0.7809 0.4343
0.4735 0.7597 1.0000 0.6978 0.4926
0.4334 0.7809 0.6978 1.0000 0.4289
0.6855 0.4343 0.4926 0.4289 1.0000];Преобразуйте корреляции и стандартные отклонения к ковариационной матрице.
ExpCovariance = corr2cov(Sigmas, Correlations)
ExpCovariance = 5×5
10-3 ×
0.0904 0.0597 0.0686 0.0456 0.0709
0.0597 0.2033 0.1649 0.1232 0.0674
0.0686 0.1649 0.2319 0.1175 0.0816
0.0456 0.1232 0.1175 0.1224 0.0516
0.0709 0.0674 0.0816 0.0516 0.1183
Примите, что существует 252 торговых дня в календарный год и моделируют два демонстрационных пути (реализация) ежедневной газеты, возвращает более чем период 2D года. Поскольку ExpReturn и ExpCovariance ежедневно выражаются, установите RetIntervals = 1.
StartPrice = 100; NumObs = 504; % two calendar years of daily returns NumSim = 2; RetIntervals = 1; % one trading day NumAssets = 5;
Чтобы проиллюстрировать различие между методами, моделируйте два пути каждым методом, начиная с того же состояния случайных чисел.
rng('default'); RetExact = portsim(ExpReturn, ExpCovariance, NumObs, ... RetIntervals, NumSim, 'Exact'); rng(0); RetExpected = portsim(ExpReturn, ExpCovariance, NumObs, ... RetIntervals, NumSim, 'Expected');
Сравните среднее значение и ковариацию RetExact с входными параметрами (ExpReturn и ExpCovariance), вы заметите, что они почти идентичны.
На данном этапе RetExact и RetExpected оба 504 5 2 массивами. Теперь примите одинаково взвешенный портфель, сформированный из этих пяти активов, и создайте массивы портфеля, возвращается, в котором каждый столбец представляет портфель, возвращаются из соответствующего демонстрационного пути моделируемых возвратов этих пяти активов. Массивы портфеля PortRetExact и PortRetExpected являются 504 2 матрицами.
Weights = ones(NumAssets, 1)/NumAssets; PortRetExact = zeros(NumObs, NumSim); PortRetExpected = zeros(NumObs, NumSim); for i = 1:NumSim PortRetExact(:,i) = RetExact(:,:,i) * Weights; PortRetExpected(:,i) = RetExpected(:,:,i) * Weights; end
Наконец, преобразуйте моделируемый портфель, возвращается к ценам, и отобразите данные на графике. В частности, обратите внимание, что начиная с ожидаемого дохода соответствий метода Exact и ковариации, терминальные цены портфеля фактически идентичны для каждого демонстрационного пути. Это не верно для метода симуляции Expected. Несмотря на то, что этот пример исследует портфели, те же методы применяются к отдельным активам также. Таким образом симуляция Exact является самой соответствующей, когда уникальные пути обязаны достигать тех же терминальных цен.
PortExact = ret2tick(PortRetExact, ... repmat(StartPrice,1,NumSim));
Warning: This syntax will be removed in a future release. See the documentation for recommended usage.
PortExpected = ret2tick(PortRetExpected, ... repmat(StartPrice,1,NumSim));
Warning: This syntax will be removed in a future release. See the documentation for recommended usage.
subplot(2,1,1), plot(PortExact, '-r') ylabel('Portfolio Prices') title('Exact Method') subplot(2,1,2), plot(PortExpected, '-b') ylabel('Portfolio Prices') title('Expected Method')
ExpReturn, ExpCovariance и RetIntervalsЭтот пример показывает взаимодействие среди ExpReturn, ExpCovariance и RetIntervals. Вспомните, что portsim моделирует коррелируемый актив, возвращает на интервале длины dt, данный уравнением
где S является ценой активов, μ является ожидаемой нормой прибыли, σ является энергозависимостью цены активов, и ε представляет случайный рисунок от стандартизированного нормального распределения.
Шаг времени dt определяется дополнительным входом RetIntervals, или как явный входной параметр или как шаг единицы времени по умолчанию. Независимо, периодичность ExpReturn, ExpCovariance и RetIntervals должна быть сопоставимой. Например, если ExpReturn и ExpCovariance пересчитаны на год, то RetIntervals должен быть в годах. Эта точка часто неправильно понимается.
Чтобы проиллюстрировать взаимодействие среди ExpReturn, ExpCovariance и RetIntervals, рассматривают портфель пяти активов со следующими ожидаемыми доходами, стандартными отклонениями, и корреляционная матрица на основе ежедневного актива возвращается.
ExpReturn = [0.0246 0.0189 0.0273 0.0141 0.0311]/100;
Sigmas = [0.9509 1.4259 1.5227 1.1062 1.0877]/100;
Correlations = [1.0000 0.4403 0.4735 0.4334 0.6855
0.4403 1.0000 0.7597 0.7809 0.4343
0.4735 0.7597 1.0000 0.6978 0.4926
0.4334 0.7809 0.6978 1.0000 0.4289
0.6855 0.4343 0.4926 0.4289 1.0000];
Преобразуйте корреляции, и стандартные отклонения к ковариационной матрице ежедневной газеты возвращается.
ExpCovariance = corr2cov(Sigmas, Correlations);
Примите 252 торговых дня в календарный год и моделируйте один демонстрационный путь ежедневной газеты, возвращается за четырехлетний период. Поскольку ExpReturn и входные параметры ExpCovariance ежедневно выражаются, установите RetIntervals = 1.
StartPrice = 100; NumObs = 1008; % four calendar years of daily returns RetIntervals = 1; % one trading day NumAssets = length(ExpReturn); randn('state',0); RetSeries1 = portsim(ExpReturn, ExpCovariance, NumObs, ... RetIntervals, 1, 'Expected');
Теперь пересчитайте на год ежедневные данные, таким образом, изменив периодичность данных, путем умножения ExpReturn и ExpCovariance 252 и деления RetIntervals на 252 (RetIntervals = 1/252 года). Сбрасывая генератор случайных чисел к его начальному состоянию, можно воспроизвести результаты.
rng('default'); RetSeries2 = portsim(ExpReturn*252, ExpCovariance*252, ... NumObs, RetIntervals/252, 1, 'Expected');
Примите одинаково взвешенный портфель и вычислите портфель, возвращается сопоставленный с каждым моделируемым, возвращают ряд.
Weights = ones(NumAssets, 1)/NumAssets; PortRet1 = RetSeries2 * Weights; PortRet2 = RetSeries2 * Weights;
Сравнение данных показывает, что PortRet1 и PortRet2 идентичны.
Этот пример показывает, как моделировать одномерный процесс геометрического броуновского движения. Это основано на примере, найденном в Оболочке, Опциях, фьючерсах и Других Производных, 5-й Выпуск (см. пример 12.2 на странице 236). В дополнение к проверке примера Оболочки это также графически иллюстрирует логарифмически нормальное свойство терминальных курсов акций довольно большой симуляцией Монте-Карло.
Примите, что вы владеете запасом с начальной ценой 20$, пересчитанным на год ожидаемым доходом 20% и энергозависимостью 40%. Моделируйте ежедневный ценовой процесс для этого запаса в течение одного целого календарного года (252 торговых дня).
StartPrice = 20; ExpReturn = 0.2; ExpCovariance = 0.4^2; NumObs = 252; NumSim = 10000; RetIntervals = 1/252;
RetIntervals выражается в годах, сопоставимых с тем, что ExpReturn и ExpCovariance пересчитаны на год. Кроме того, ExpCovariance вводится как отклонение, а не более знакомое стандартное отклонение (энергозависимость).
Установите состояние генератора случайных чисел и моделируйте 10 000 испытаний (реализация) запаса, возвращается за целый календарный год 252 торговых дней.
rng('default'); RetSeries = squeeze(portsim(ExpReturn, ExpCovariance, NumObs, ... RetIntervals, NumSim, 'Expected'));
Функция squeeze переформатировала выходной массив моделируемых возвратов из 252-by-1-by-10000 массив к более удобному 252-by-10000 массив. (Вспомните, что portsim является существенно многомерным механизмом симуляции).
В соответствии с уравнениями Оболочки 12.4 и 12.5 на странице 236
преобразуйте моделируемый ряд возврата в ценовой ряд и вычислите демонстрационное среднее значение и отклонение терминальных курсов акций.
StockPrices = ret2tick(RetSeries, repmat(StartPrice, 1, NumSim)); SampMean = mean(StockPrices(end,:)) SampVar = var(StockPrices(end,:))
SampMean = 24.4489 SampVar = 101.4243
Сравните эти значения со значениями, которые вы получаете при помощи уравнений Оболочки.
ExpValue = StartPrice*exp(ExpReturn) ExpVar = ... StartPrice*StartPrice*exp(2*ExpReturn)*(exp((ExpCovariance)) - 1)
ExpValue = 24.4281 ExpVar = 103.5391
Эти результаты очень близко к результатам, показанным в примере Оболочки 12.2.
Отобразите демонстрационную функцию плотности терминального курса акций после одного календарного года. От демонстрационной функции плотности логарифмически нормальное распределение терминальных курсов акций очевидно.
[count, BinCenter] = hist(StockPrices(end,:), 30); figure bar(BinCenter, count/sum(count), 1, 'r') xlabel('Terminal Stock Price') ylabel('Probability') title('Lognormal Terminal Stock Prices')
[1] Оболочка, J. C. Опции, фьючерсы и другие производные. Prentice Hall, 2003.