Используя tfqmr с Входным параметром Матрицы или Указателя на функцию

Этот пример показывает, как использовать tfqmr с матричным входом и с входным параметром функции.

n = 100; on = ones(n,1); 
A = spdiags([-2*on 4*on -on],-1:1,n,n);
b = sum(A,2); 
tol = 1e-8; 
maxit = 15;
M1 = spdiags([on/(-2) on],-1:0,n,n);
M2 = spdiags([4*on -on],0:1,n,n);
x = tfqmr(A,b,tol,maxit,M1,M2,[]);

Можно также использовать функцию матричного векторного произведения, как введено:

function y = afun(x,n)
y = 4 * x;
y(2:n) = y(2:n) - 2 * x(1:n-1);
y(1:n-1) = y(1:n-1) - x(2:n);
x1 = tfqmr(@(x)afun(x,n),b,tol,maxit,M1,M2);

Если applyOp является функцией, подходящей для использования с qmr, это может использоваться с tfqmr путем переноса его в анонимной функции:

x1 = tfqmr(@(x)applyOp(x,'notransp'),b,tol,maxit,M1,M2);

Используя tfqmr с Предварительным формирователем

Этот пример демонстрирует использование предварительного формирователя.

Загрузите A = west0479, действительное 479 479 несимметричная разреженная матрица.

load west0479;
A = west0479;

Задайте b так, чтобы истинное решение было вектором из всех единиц.

b = full(sum(A,2));

Установите допуск и максимальное количество итераций.

tol = 1e-12;
maxit = 20;

Используйте tfqmr, чтобы найти решение в требуемом допуске и количестве итераций.

[x0,fl0,rr0,it0,rv0] = tfqmr(A,b,tol,maxit);

fl0 равняется 1, потому что tfqmr не сходится к требуемому допуску 1e-12 в требуемых 20 итерациях. Семнадцатые выполняют итерации, лучшее приближенное решение и тот, возвращенный, как обозначено it0 = 17. MATLAB® хранит остаточную историю в rv0.

Постройте поведение tfqmr.

semilogy(0:maxit,rv0(1:maxit+1)/norm(b),'-o');
xlabel('Iteration number');
ylabel('Relative residual');

Обратите внимание на то, что как bicgstab, tfqmr отслеживает половину итераций. График показывает, что решение не сходится. Можно использовать предварительный формирователь, чтобы улучшить результат.

Создайте предварительный формирователь с ilu, поскольку матричный A несимметричен.

[L,U] = ilu(A,struct('type','ilutp','droptol',1e-5));

Error using ilu
There is a pivot equal to zero. Consider decreasing 
the drop tolerance or consider using the 'udiag' option.

MATLAB не может создать неполный LU, когда это привело бы к сингулярному фактору, который бесполезен как предварительный формирователь.

Можно попробовать еще раз с уменьшаемым допуском отбрасывания, как обозначено сообщением об ошибке.

[L,U] = ilu(A,struct('type','ilutp','droptol',1e-6));
[x1,fl1,rr1,it1,rv1] = tfqmr(A,b,tol,maxit,L,U);

fl1 0, потому что tfqmr управляет относительной невязкой к 4.1410e-014 (значение rr1). Относительная невязка является меньше, чем предписанный допуск 1e-12 в шестой итерации (значение it1), когда предобусловленный неполной LU-факторизацией с допуском отбрасывания 1e-6. Выводом rv1(1) является norm(b), и выводом rv1(7) является norm(b-A*x2).

Можно следовать, прогресс tfqmr путем графического вывода относительных невязок в каждой итерации, начинающей с первоначальной оценки (выполните итерации номера 0).

semilogy(0:0.5:it1,rv1/norm(b),'-o');
xlabel('Iteration number');
ylabel('Relative residual');