Решите систему нелинейных уравнений
Нелинейный системный решатель
Решает проблему, заданную
F (x) = 0
для x, где F (x) является функцией, которая возвращает векторное значение.
x является вектором или матрицей; смотрите Матричные аргументы.
x = fsolve(fun,x0)x = fsolve(fun,x0,options)x = fsolve(problem)[x,fval]
= fsolve(___)[x,fval,exitflag,output]
= fsolve(___)[x,fval,exitflag,output,jacobian]
= fsolve(___)x = fsolve(fun,x0,options)options. Используйте optimoptions, чтобы установить эти опции.
x = fsolve(problem)problem, где problem является структурой, описанной во Входных параметрах. Создайте структуру problem путем экспорта проблемы из приложения Оптимизации, как описано в Экспорте работы.
Этот пример показывает, как решить два нелинейных уравнения в двух переменных. Уравнения
Преобразуйте уравнения в форму
.
Запишите функцию, которая вычисляет левую сторону этих двух уравнений.
function F = root2d(x)
F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;
Сохраните этот код как файл с именем root2d.m на вашем пути MATLAB®.
Решите систему уравнений, запускающуюся в точке [0,0].
fun = @root2d; x0 = [0,0]; x = fsolve(fun,x0)
Equation solved.
fsolve completed because the vector of function values is near zero
as measured by the value of the function tolerance, and
the problem appears regular as measured by the gradient.
x =
0.3532 0.6061
Исследуйте процесс решения на нелинейную систему.
Установите опции не иметь никакого отображения и функции построения графика, которая отображает оптимальность первого порядка, которая должна сходиться к 0, когда алгоритм выполняет итерации.
options = optimoptions('fsolve','Display','none','PlotFcn',@optimplotfirstorderopt);
Уравнения в нелинейной системе
Преобразуйте уравнения в форму
.
Запишите функцию, которая вычисляет левую сторону этих двух уравнений.
function F = root2d(x)
F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;
Сохраните этот код как файл с именем root2d.m на вашем пути MATLAB®.
Решите нелинейную систему, начинающую с точки [0,0], и наблюдайте процесс решения.
fun = @root2d; x0 = [0,0]; x = fsolve(fun,x0,options)
x =
0.3532 0.6061
Создайте структуру задачи для fsolve и решите проблему.
Решите ту же проблему как в Решении с Опциями Не по умолчанию, но сформулируйте проблему с помощью структуры задачи.
Установите опции для проблемы не иметь никакого отображения и функции построения графика, которая отображает оптимальность первого порядка, которая должна сходиться к 0, когда алгоритм выполняет итерации.
problem.options = optimoptions('fsolve','Display','none','PlotFcn',@optimplotfirstorderopt);
Уравнения в нелинейной системе
Преобразуйте уравнения в форму
.
Запишите функцию, которая вычисляет левую сторону этих двух уравнений.
function F = root2d(x)
F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;
Сохраните этот код как файл с именем root2d.m на вашем пути MATLAB®.
Создайте остающиеся поля в структуре задачи.
problem.objective = @root2d;
problem.x0 = [0,0];
problem.solver = 'fsolve';
Решите проблему.
x = fsolve(problem)
x =
0.3532 0.6061
Этот пример возвращает итеративное отображение, показывающее процесс решения для системы двух уравнений и двух неизвестных
Перепишите уравнения в форме F (x) = 0:
Запустите свой поиск решения в x0 = [-5 -5].
Во-первых, запишите файл, который вычисляет F, значения уравнений в x.
function F = myfun(x)
F = [2*x(1) - x(2) - exp(-x(1));
-x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2))];Сохраните этот файл функции как myfun.m на вашем пути MATLAB®.
Настройте начальную точку. Установите опции возвращать итеративное отображение.
x0 = [-5;-5];
options = optimoptions('fsolve','Display','iter');Вызовите fsolve.
[x,fval] = fsolve(@myfun,x0,options)
Norm of First-order Trust-region
Iteration Func-count f(x) step optimality radius
0 3 47071.2 2.29e+04 1
1 6 12003.4 1 5.75e+03 1
2 9 3147.02 1 1.47e+03 1
3 12 854.452 1 388 1
4 15 239.527 1 107 1
5 18 67.0412 1 30.8 1
6 21 16.7042 1 9.05 1
7 24 2.42788 1 2.26 1
8 27 0.032658 0.759511 0.206 2.5
9 30 7.03149e-06 0.111927 0.00294 2.5
10 33 3.29525e-13 0.00169132 6.36e-07 2.5
Equation solved.
fsolve completed because the vector of function values is near zero
as measured by the value of the function tolerance, and
the problem appears regular as measured by the gradient.
x =
0.5671
0.5671
fval =
1.0e-006 *
-0.4059
-0.4059Найдите матричный X, который удовлетворяет
запуск в точке x= [1,1;1,1]. Исследуйте fsolve выходные параметры, чтобы видеть качество решения и процесс.
Создайте анонимную функцию, которая вычисляет матричное уравнение.
fun = @(x)x*x*x - [1,2;3,4];
Установите опции выключать отображение. Установите начальную точку x0.
options = optimoptions('fsolve','Display','off');
x0 = ones(2);Вызовите fsolve и получите информацию о процессе решения.
[x,fval,exitflag,output] = fsolve(fun,x0,options); x,fval,exitflag
x =
-0.1291 0.8602
1.2903 1.1612
fval =
1.0e-09 *
-0.1618 0.0778
0.1160 -0.0474
exitflag =
1Выходной 1 флагового значения указывает, что решение надежно. Чтобы проверить это вручную, вычислите невязку (сумма квадратов fval), чтобы видеть, как близко это должно обнулить.
sum(sum(fval.*fval))
ans = 4.7957e-20
Эта маленькая невязка подтверждает, что x является решением.
fsolve выполнил 35 функциональных оценок, чтобы найти решение, как вы видите в структуре output.
output.funcCount
ans =
35Функция, которая будет решена, должна быть непрерывной.
Когда успешный, fsolve только дает один корень.
Метод резкого искривления доверительной области по умолчанию может только использоваться, когда система уравнений квадратная, т.е. количество уравнений равняется количеству неизвестных. Для метода Levenberg-Marquardt система уравнений не должна быть квадратной.
Для больших проблем, означая тех с тысячами переменных или больше, сохраняют память (и возможно сэкономьте время) путем установки опции Algorithm на 'trust-region' и опции SubproblemAlgorithm к 'cg'.
Levenberg-Marquardt и методы доверительной области основаны на алгоритмах нелинейного метода наименьших квадратов, также используемых в lsqnonlin. Используйте один из этих методов, если система не может иметь нуля. Алгоритм все еще возвращает точку, где невязка является маленькой. Однако, если якобиан системы сингулярен, алгоритм может сходиться к точке, которая не является решением системы уравнений (см. Ограничения).
fsolve по умолчанию выбирает алгоритм резкого искривления доверительной области. Алгоритм является вариантом метода резкого искривления Пауэлла, описанного в [8]. Это подобно по своей природе алгоритму, реализованному в [7]. См. Метод Резкого искривления Доверительной области.
Алгоритм доверительной области является методом доверительной области подпространства и основан на внутреннем отражающем методе Ньютона, описанном в [1] и [2]. Каждая итерация включает приближенное решение большой линейной системы с помощью метода предобусловленных методов сопряженных градиентов (PCG). Смотрите Доверительную область fsolve Алгоритм.
Метод Levenberg-Marquardt описан в ссылках [4], [5], и [6]. См. Метод Levenberg-Marquardt.
[1] Коулман, Т.Ф. и И. Ли, “Внутренний, Доверительный Подход области для Нелинейной Минимизации Согласно Границам”, SIAM Journal на Оптимизации, Издании 6, стр 418-445, 1996.
[2] Коулман, Т.Ф. и И. Ли, “На Сходимости Отражающих Методов Ньютона для Крупномасштабной Нелинейной Минимизации Согласно Границам”, Математическое программирование, Издание 67, Номер 2, стр 189-224, 1994.
[3] Деннис, J. E. Младший, “Нелинейный метод наименьших квадратов”, Состояние в Числовом Анализе, редакторе Д. Джейкобсе, Academic Press, стр 269-312.
[4] Levenberg, K., “Метод для Решения Определенных проблем в Наименьших квадратах”, Ежеквартальная Прикладная математика 2, стр 164-168, 1944.
[5] Marquardt, D., “Алгоритм для Оценки Наименьших квадратов Нелинейных Параметров”, Прикладная математика SIAM Journal, Издание 11, стр 431-441, 1963.
[6] Moré, J. J. “Алгоритм Levenberg-Marquardt: Реализация и Теория”, Числовой Анализ, редактор Г. А. Уотсон, Примечания Лекции в Математике 630, Springer Verlag, стр 105-116, 1977.
[7] Moré, J. J. бакалавр наук Гарбоу, и К. Э. Хиллстром, руководство пользователя для MINPACK 1, национальной лаборатории Аргонна, Rept. ANL-80-74, 1980.
[8] Пауэлл, M. J. D. “Стандартная подпрограмма Фортрана для Решения Систем Нелинейных Алгебраических уравнений”, Численные методы для Нелинейных Алгебраических уравнений, П. Рабиновица, редактора, Ch.7, 1970.