Рассмотрите систему управления, объект которой является номинально интегратором с некоторой аддитивной динамической неуверенностью. Создайте модель объекта.

delta = ultidyn('delta',[1 1],'bound',0.4); 
G = tf(1,[1 0]) + delta;

Создайте контроллер PD для модели. Предположим, что вы хотите исследовать производительность подавления помех худшего случая. Создайте функцию чувствительности с обратной связью, чтобы исследовать усиление худшего случая воздействия во входе объекта.

C = pid(2,0,-0.04,0.02);
S = feedback(1,G*C);

Из-за неуверенности частотная характеристика этой передаточной функции находится в пределах некоторого конверта. Значение частотной характеристики нескольких выборок системы дает смысл того конверта.

bodemag(S)

Каждая выборка имеет различное пиковое усиление. Найдите самое высокое значение пикового усиления в конверте и соответствующие значения для неопределенных элементов.

[wcg,wcu] = wcgain(S);
wcg

wcg = struct with fields:
           LowerBound: 5.1036
           UpperBound: 5.1140
    CriticalFrequency: 10.7241

Поля LowerBound и UpperBound wcg показывают, что усиление пика худшего случая - приблизительно 5,1. Это усиление происходит в критической частоте приблизительно 10,6 рад/с.

Вывод wcu является структурой, которая содержит возмущение к delta, который вызывает усиление худшего случая. Подтвердите результат путем замены этим значением в функцию чувствительности.

Swc = usubs(S,wcu);
getPeakGain(Swc)

ans = 5.1037

Поскольку система имеет динамическую неуверенность delta с усилением, не превышающим 0.4, значение худшего случая delta должно быть системой с пиковым усилением 0,4. Подтвердите этот результат.

getPeakGain(wcu.delta)

ans = 0.4000

Рассмотрите модель системы управления, содержащей неопределенные элементы.

k = ureal('k',10,'Percent',40);
delta = ultidyn('delta',[1 1]); 
G = tf(18,[1 1.8 k]) * (1 + 0.5*delta);
C = pid(2.3,3,0.38,0.001);
CL = feedback(G*C,1);

По умолчанию wcgain возвращает только усиление пика худшего случая по всем частотам. Чтобы получить значения усиления худшего случая на нескольких частотах, используйте опцию 'VaryFrequency' wcOptions. Например, вычислите максимально возможное усиление системы в точках частоты между 0,1 и 10 рад/с.

opts = wcOptions('VaryFrequency','on');
[wcg1,wcu1,info1] = wcgain(CL,{0.1,10},opts);
info1

info1 = struct with fields:
                 Model: 1
             Frequency: [19x1 double]
                Bounds: [19x2 double]
     WorstPerturbation: [19x1 struct]
           Sensitivity: [1x1 struct]
    BadUncertainValues: [19x1 struct]
            ArrayIndex: 1

wcgain возвращает вектор частот в info вывод в поле Frequencies. info.Bounds содержит верхние и нижние границы на усилении худшего случая на каждой частоте. Используйте эти значения, чтобы построить зависимость частоты усиления худшего случая.

semilogx(info1.Frequency,info1.Bounds)
title('Worst-Case Gain vs. Frequency')
ylabel('Gain')
xlabel('Frequency')
legend('Lower bound','Upper bound','Location','northwest')

Кривая показывает конверт высокого усиления для всех систем в областях значений неуверенности CL. Можно также использовать wcsigma, чтобы построить этот конверт наряду с выборками системы.

Когда вы используете опцию 'VaryFrequency', wcgain выбирает точки частоты автоматически. Частоты это, выборы, как гарантируют, будут включать частоту, на которой усиление худшего случая является самым высоким (в заданной области значений). Отобразите возвращенные значения частоты, чтобы подтвердить, что они включают критическую частоту.

info1.Frequency

ans = 19×1

    0.1000
    0.1061
    0.1425
    0.1914
    0.2572
    0.3455
    0.4642
    0.6236
    0.8377
    1.1253
      ⋮

wcg1.CriticalFrequency

ans = 6.0753

Также вместо того, чтобы использовать 'VaryFrequency', можно задать особые частоты, на которых можно вычислить усиления худшего случая. info.Bounds содержит усиления худшего случая на всех заданных частотах.

w = logspace(-1,1,24); 
[wcg2,wcu2,info2] = wcgain(CL,w);
semilogx(w,info2.Bounds)
title('Worst-Case Gain vs. Frequency')
ylabel('Gain')
xlabel('Frequency')
legend('Lower bound','Upper bound','Location','northwest')

Когда вы обеспечите сетку частоты таким образом, результаты, как гарантируют, не будут включать полное усиление худшего случая, которое может упасть между заданными точками частоты. Чтобы видеть это, исследуйте wcg1 и wcg2, которые содержат границы для двух подходов.

wcg1

wcg1 = struct with fields:
           LowerBound: 2.0848
           UpperBound: 2.0893
    CriticalFrequency: 6.0753

wcg2

wcg2 = struct with fields:
           LowerBound: 2.0349
           UpperBound: 2.0371
    CriticalFrequency: 6.7002

wcg1, вычисленное использование VaryFrequency, находит более высокое пиковое усиление, чем заданная сетка частоты.

Рассмотрите обратную связь с объектом первого порядка и контроллером PI. Временная константа объекта сомнительна, и счета обратной связи на несмоделированную динамическую неуверенность. Вычислите усиление худшего случая функции чувствительности Si во входных параметрах объекта. Используйте опцию 'Sensitivity' wcOptions, чтобы вычислить, насколько чувствительный это усиление худшего случая к каждому неопределенному элементу.

% Create uncertain system and controller
delta = ultidyn('delta',[1 1]);
tau = ureal('tau',5,'range',[4 6]);
P = tf(1,[tau 1])*(1+0.25*delta);
C = pid(4,4);

opt = wcOptions('Sensitivity','on');
Si = inv(1 + C*P);
[wcg,~,info] = wcgain(Si,opt);

Поле Sensitivity info, структура вывода включает данные, которые отражаются, насколько максимальное усиление входной чувствительности функционирует изменения с каждым неопределенным элементом.

info.Sensitivity

ans = struct with fields:
    delta: 44
      tau: 9

Этот результат говорит вам это, если область значений неуверенности дельты увеличивается на 10%, пиковые входные увеличения чувствительности приблизительно на 4,4%. Точно так же 10%-е увеличение области значений неуверенности tau вызывает приблизительно увеличение на 0,9% пиковой входной чувствительности.

Определение определенных опций для вычисления структурированного сингулярного значения, которое лежит в основе вычисления худшего усиления, может привести к лучшим результатам в некоторых случаях. Например, рассмотрите демонстрационный объект и контроллер.

load(fullfile(matlabroot,'examples','robust','wcgExampleData.mat'))

Эта команда загружает gPlant, объект MIMO с 10 выходными параметрами, 8 входными параметрами и 11 неопределенными элементами. Это также загружает Kmu, модели контроллеров пространства состояний. Сформируйте систему с обратной связью с этими моделями и исследуйте усиление худшего случая.

CL = lft(gPlant,Kmu);
[wcg,wcu] = wcgain(CL);
wcg

wcg = struct with fields:
           LowerBound: 10.7476
           UpperBound: 11.2134
    CriticalFrequency: 6.5645

Существуют значительные различия между нижними и верхними границами на усилении худшего случая. Чтобы получить лучшую оценку фактического усиления худшего случая, увеличьте число перезапусков, которые wcgain использует для вычисления возмущения худшего случая и сопоставленной нижней границы. Выполнение так может привести к более трудной нижней границе. Эта опция не влияет на вычисление верхней границы.

opt = wcOptions('MussvOptions','m3');
[wcg,wcu] = wcgain(CL,opt);
wcg

wcg = struct with fields:
           LowerBound: 10.8170
           UpperBound: 11.2134
    CriticalFrequency: 6.6699

Различие между нижней границей и верхней границей на усилении худшего случая намного меньше. Критическая частота отличается также.