Эйлер
Числа Эйлера и полиномы
Блокноты MuPAD® будут демонтированы в будущем релизе. Используйте live скрипты MATLAB® вместо этого.
Live скрипты MATLAB поддерживают большую часть функциональности MuPAD, хотя существуют некоторые различия. Для получения дополнительной информации смотрите, Преобразовывают Notebook MuPAD в Live скрипты MATLAB.
Синтаксис
euler(n) euler(n,x)
Описание
euler(n) возвращает n-th Число Эйлера.
euler(n, x) возвращает n-th Эйлеров полином в x.
Эйлеровы полиномы заданы производящей функцией
.
Числа Эйлера заданы euler(n) = 2^n*euler(n,1/2).
Ошибка происходит, если n является численным значением, не представляющим неотрицательное целое число.
Если n является целым числом, больше, чем значение, возвращенное Pref::autoExpansionLimit (), то на звонок euler(n) отвечают символически. Используйте expand(euler(n)), чтобы получить явный числовой результат для больших целых чисел n.
Если n содержит нечисловые символьные идентификаторы, то на звонок euler(n) отвечают символически. В большинстве случаев то же самое сохраняется для вызовов euler(n, x). Некоторые упрощения реализованы для специальных численных значений, таких как x = 0, x = 1/2, x = 1 и т.д. для символьного n. Cf. Пример 3.
Примечание
Обратите внимание на то, что оценка с плавающей точкой для полиномов высокой степени может быть численно нестабильной. Смотрите Пример 4.
Оценка с плавающей точкой на стандартном интервале x ∈ [0, 1] численно стабилен для произвольного n.
Чтобы использовать Эйлеровую константу, вызовите E или exp(1). Чтобы использовать постоянного Эйлера-Машерони, вызовите EULER. Смотрите Математические константы, Доступные в MuPAD. Можно аппроксимировать эти константы с числами с плавающей запятой при помощи float.
Взаимодействия среды
Когда названо значением с плавающей точкой x, функция чувствительна к переменной окружения DIGITS, который определяет числовую рабочую точность.
Примеры
Пример 1
Первые Числа Эйлера:
euler(n) $ n = 0..11
Первые Эйлеровы полиномы:
euler(n, x) $ n = 0..4
Если n является символьным, то на символьный звонок отвечают:
euler(n, x), euler(n + 3/2, x), euler(n + 5*I, x)
Пример 2
Если x не является неопределенным, то оценка Эйлерового полинома в точке x возвращена:
euler(50, 1 + I)
euler(3, 1 - y) = expand(euler(3, 1 - y))
Пример 3
Определенные упрощения происходят для некоторых специальных численных значений x, даже если n является символьным:
euler(n, 0), euler(n, 1/2), euler(n, 1)
Вызовы с числовыми аргументами между
и 1 автоматически переписаны с точки зрения вызовов с аргументами между 0 и
:
euler(n, 2/3), euler(n, 0.7)
Вызовы с отрицательными числовыми аргументами automatially переписаны с точки зрения вызовов с положительными аргументами:
euler(n, -2)
euler(n, -12.345)
Пример 4
Оценка плавающая знатные полиномы может быть численно нестабильной:
exact := euler(50, 1 + I): float(exact);
euler(50, float(1 + I))
DIGITS := 40: euler(50, float(1 + I))
delete exact, DIGITS:
Пример 5
Некоторые системные функции, такие как diff или expand обрабатывают символьные вызовы euler:
diff(euler(n, f(x)), x)
expand(euler(n, x + 2))
expand(euler(n, -x))
expand(euler(n, 3*x))
Параметры
|
Арифметическое выражение, представляющее неотрицательное целое число |
|
Возвращаемые значения
Арифметическое выражение.
Ссылки
М. Абрамовиц и я. Stegun, “Руководство математических функций”, Dover Publications Inc., Нью-Йорк (1965).