`числовой::`

Числовые корни одномерного полинома

Блокноты MuPAD® будут демонтированы в будущем релизе. Используйте live скрипты MATLAB® вместо этого.

Live скрипты MATLAB поддерживают большую часть функциональности MuPAD, хотя существуют некоторые различия. Для получения дополнительной информации смотрите, Преобразовывают Notebook MuPAD в Live скрипты MATLAB.

Синтаксис

numeric::polyroots(eqs, <FixedPrecision>, <SquareFree>, <Factor>, <NoWarning>)

Описание

numeric::polyroots(eqs) возвращает числовые приближения всех действительных и комплексных корней одномерных полиномов eqs.

Коэффициенты могут быть вещественными или комплексными числами. Также символьные коэффициенты приняты, если они могут быть преобразованы в плавания.

Тривиальный полиномиальный eqs = 0 результатов в сообщении об ошибке. Пустой список возвращен для постоянных полиномов eqs ≠ 0.

Несколько корней перечислены согласно их кратности, т.е. длина корневого списка совпадает со степенью eqs.

Корневой список сортируется по numeric::sort.

Чтобы округлить эффекты, числовые корни должны быть с точностью до DIGITS значительными цифрами, если опция FixedPrecision не используется.

Все записи с плавающей точкой в eqs внутренне аппроксимированы рациональными числами: numeric::polyroots(eqs) вычисляет корни numeric::rationalize(eqs, Minimize).

Для многочленных выражений в учтенной форме числовой поиск применяется к каждому фактору отдельно.

Рекомендуется использовать numeric::realroots или polylib::realroots, если eqs является действительным полиномом, и только действительные корни представляют интерес.

Взаимодействия среды

Функция чувствительна к переменной окружения DIGITS, который определяет числовую рабочую точность.

Примеры

Пример 1

Оба многочленных выражения, а также объекты DOM_POLY могут использоваться, чтобы задать полином:

numeric::polyroots(x^3 - 3*x - sqrt(2))

numeric::polyroots(PI*z^4 + I*z + 0.1)

numeric::polyroots(poly(x^5 - x^2, [x]))

Пример 2

Следующий полином имеет точные коэффициенты:

p := poly((x - 1)*(x - PI)^3, [x]): 
numeric::polyroots(p)

Обратите внимание на то, что ошибки округления в коэффициентах eqs имеют сильное воздействие на нескольких корнях:

p := poly((x - 1.0)*(x - float(PI))^3, [x]): 
numeric::polyroots(p)

Это корни следующего рационализированного полинома:

numeric::rationalize(p, Minimize)

delete p:

Пример 3

Несколько корень следующего полинома могут только быть вычислены с ограниченной точностью фиксированной арифметикой точности:

p := poly((x^2 - 6*x +8)*(x - I/3)^5, [x]):
numeric::polyroots(p, FixedPrecision)

Без опции FixedPrecision рабочая точность увеличена внутренне, чтобы вычислить лучшие приближения:

numeric::polyroots(p)

delete p:

Пример 4

Следующий полином плохо разделил корни. numeric::polyroots не удается разделить их правильно:

p := poly(_mult((x - 1 - i/10^9) $ i=0..5), [x]):
numeric::polyroots(p)

Можно предварительно обработать полином символьной факторизацией:

numeric::polyroots(p, Factor)

Также можно увеличить рабочую точность, чтобы разделить корни:

DIGITS := 20:
numeric::polyroots(p)

delete p, DIGITS:

Параметры

eqs

Одномерное многочленное выражение или одномерный полином доменного типа DOM_POLY. Функция также принимает список, набор, array или matrix (Cat::Matrix) многочленных выражений.

Опции

`FixedPrecision`	Эта опция обеспечивает самый быстрый способ получить приближения корней числовым поиском с фиксированной внутренней точностью 2 DIGITS десятичные разряды. Обратите внимание на то, что плохо изолированные корни или несколько корней не будут обычно аппроксимироваться к десятичным числам `DIGITS` при использовании этой опции. Проблема нахождения таких корней численно плохо обусловлена, т.е. такие корни не могут быть найдены к полной точности с фиксированной арифметикой точности. Как правило, q - корень сгиба будет аппроксимирован только приблизительно к десятичным разрядам. Cf. Пример 3. Без этой опции `numeric::polyroots` внутренне увеличивает рабочую точность, пока все корни не найдены к десятичным разрядам `DIGITS`.
`SquareFree`	При использовании этой опции символьная квадратная свободная факторизация вычисляется через `polylib::sqrfree(eqs)`. Числовой корневой алгоритм нахождения затем применяется к каждому квадратному свободному фактору. Эта опция рекомендуется, когда `p`, как известно, имеет несколько корней. Такие корни обеспечивают `numeric::polyroots`, чтобы увеличить рабочую точность, внутренне увеличивающую затраты на числовой поиск. Квадратная свободная факторизация уменьшает кратность каждого корня одному, ускоряя итоговый числовой поиск. Для полиномов с действительными рациональными коэффициентами всегда используется квадратная свободная факторизация, т.е. эта опция не имеет никакого эффекта для таких полиномов. Для всех других типов коэффициентов квадратная свободная факторизация может быть дорогостоящей и должна требоваться этой опцией. С несколькими корнями `eqs` может успешно иметь дело эта опция. Однако для плохо разделенных отличных корней квадратная свободная факторизация не будет улучшать производительность числового поиска.
`Factor`	При использовании этой опции вычисляются символьные факторизации `eqs` через `factor`. Числовой корневой алгоритм нахождения затем применяется к каждому фактору. Эта опция полезна, когда `eqs` может быть успешно разложен на множители (например, когда каждое выражение от `eqs` имеет несколько корней). Числовой поиск на факторах намного более эффективен, чем поиск на исходном полиноме. С другой стороны, символьная факторизация `eqs` может быть дорогостоящей.
`NoWarning`	Отключает предупреждения

Возвращаемые значения

Список числовых корней.

Алгоритмы

Числовой корневой алгоритм нахождения, реализованный numeric::polyroots, является методом Лагерра: В.Х. Пресс, B.P. Flannery, S.A. Теукольский и В.Т. Веттерлинг: Числовые Рецепты в C, издательстве Кембриджского университета, 1988.

Смотрите также

Функции MuPAD

RootOf | numeric::fsolve | numeric::polysysroots | numeric::realroot | numeric::realroots | polylib::realroots | solve

Документация