числовой::

Изолированные интервалы, содержащие действительные корни одномерной функции

Блокноты MuPAD® будут демонтированы в будущем релизе. Используйте live скрипты MATLAB® вместо этого.

Live скрипты MATLAB поддерживают большую часть функциональности MuPAD, хотя существуют некоторые различия. Для получения дополнительной информации смотрите, Преобразовывают Notebook MuPAD в Live скрипты MATLAB.

Синтаксис

numeric::realroots(f(x), <x = a .. b>, <eps>, <Merge = c>)

Описание

numeric::realroots(f(x), x = a..b) ищет действительные корни f (x) в интервале. Это возвращает список подынтервалов, в которых могут существовать действительные корни f (x). Гарантируется, что нет никаких действительных корней в интервале, лежащем вне объединения возвращенных подынтервалов.

С Merge = FALSE все интервалы, возвращенные numeric::realroots, имеют длину b i - a i <eps со значением по умолчанию eps = 0.01. Абсолютная точность корневой изоляции может быть переопределена с помощью дополнительного параметра eps.

Примечание

Интервалы, возвращенные numeric::realroots, задают подмножество этого, может содержать действительные корни. Для многочленных выражений f (x) каждый из подынтервалов возвращенных numeric::realroots, как гарантируют, будет содержать точно один корень. Для немногочленных выражений f (x), однако, некоторые подынтервалы не могут содержать корень! Cf. Пример 6.

В любом случае дополнение подынтервалов, возвращенных numeric::realroots, как гарантируют, не будет содержать действительных корней. В частности, от возвращаемого значения [], можно положительно прийти к заключению, что никакой корень не существует в поисковом интервале. Cf. Пример 2.

Символьные параметры в f (x) не позволены: float(f(x)) должен оценить к числу с плавающей точкой для всего x от интервала.

Интервалы Бога формы x = -infinity..b не усовершенствованы если b ≤ - 105.

Интервалы Бога формы x = a..infinity не усовершенствованы если a ≥ 105.

Такие интервалы возвращены непосредственно, если numeric::realroots думает, что они могут содержать корни. Cf. Пример 5.

f (x) может содержать сложные выражения. Только поисковый параметр x принят, чтобы быть действительным. Для сложных выражений f(x) возвращены интервалы, где и действительное и мнимая часть выражения исчезают одновременно.

Примечание

Выражение f(x) должно подойти для арифметики интервала. In particular, MuPAD® должен смочь оценить f(a...b). Обратите внимание на то, что не все функции MuPAD поддерживают этот вид арифметики.

В настоящее время следующие специальные функции поддерживают арифметику интервала: abs, arccos, arccosh, arccoth, arccot, arccsc, arccsch, arcsec, arcsech, arcsin, arcsinh, arctan, arctanh, arg, beta, ceil, cos, cosh, cot, coth, csc, csch, dirac, exp, floor, gamma, Im, ln, Re, round, sec, sech, sin, sinh, sqrt, tan, tanh, trunc. Действительные корни могут искаться любое выражение, которое создается из этих функций с помощью стандартных арифметических операций +, -, *, /, ^.

Значением по умолчанию является eps = 0.01. Определяемые пользователем цели точности должны удовлетворить.

Взаимодействия среды

Функция чувствительна к переменной окружения DIGITS, который определяет числовую рабочую точность.

Примеры

Пример 1

Следующее выражение имеет целочисленные нули. Решения в заданном интервале аппроксимированы к точности по умолчанию 0.01:

numeric::realroots(sin(PI*x), x = -2..sqrt(2))

Следующее уравнение решено с абсолютной точностью 7 цифр:

numeric::realroots(x*sin(x) = exp(-x), x = -1..1, 10^(-7))

Пример 2

Следующее выражение не имеет действительного корня:

numeric::realroots(exp(x) + x^2, x = -100..100)

Пример 3

Мы демонстрируем опцию Merge. Если арифметика интервала не может изолировать корни к желаемой точности eps (значение по умолчанию 0.01), то смежные интервалы производятся, каждая длина, меньшая, чем eps. Это происходит в следующем примере:

numeric::realroots(ln(x^2 -2*x + 2) = 0, x = -10..10,
                   Merge = FALSE)

С Merge = TRUE эти интервалы объединены к одному большему интервалу. Поскольку Merge = TRUE является настройкой по умолчанию для неполиномиальных функций, это достаточно, чтобы не использовать опцию Merge = FALSE:

numeric::realroots(ln(x^2 -2*x + 2) = 0, x = -10..10)

Пример 4

Следующее выражение имеет бесконечно много решений с n = 1, 2, … в поисковом интервале [0, 1]:

numeric::realroots(sin(PI/x), x = 0..1, 0.1, Merge = FALSE)

При исключении Merge = FALSE смежные интервалы объединены к большим интервалам. Первый из следующих интервалов содержит бесконечно много корней:

numeric::realroots(sin(PI/x), x = 0..1, 0.1)

Пример 5

Если никакой поисковый интервал не задан, целая действительная строка рассматривается:

numeric::realroots(x^3 = exp(x))

Кроме двух конечных интервалов, numeric::realroots говорит нам, что может быть корень близко к бесконечности (но что нет положительно никакого корня близко к - бесконечность). Аналитически, ясно, что подынтервал не может содержать корень, поскольку становится намного быстрее, чем x 3, когда x переходит к бесконечности. Если конечный верхний предел для поискового интервала задан, этот факт обнаруживается:

numeric::realroots(x^3 = exp(x), x = -infinity .. 10^100)

Мы изолируем два конечных корня более тесно путем определения цели точности:

numeric::realroots(x^3 = exp(x), x = -infinity .. 10^100,
                   10^(-DIGITS))

Пример 6

Следующее уравнение не имеет никакого корня близко к 0. Однако арифметика интервала не производит реалистические значения для маленьких интервалов, содержащих x = 0, таким образом, интервал изоляции приблизительно 0 возвращены:

numeric::realroots(sin(PI*x)/x = 0, x = -1..1.2)

Подобное явление происходит с в районе x = 0. Интервал изоляции приблизительно 0 возвращены, несмотря на то, что никакое решение не существует там:

numeric::realroots(x^x*cos(PI*x) = tan(x), x = 0..1)

Это не может быть исправлено путем увеличения цели точности:

numeric::realroots(x^x*cos(PI*x) = tan(x), x = 0..1,
                   10^(-DIGITS))

Параметры

f(x)

Выражение в одном неопределенном x или списке, наборе, array или matrix (Cat::Matrix) выражений. Также уравнения в форме f1(x) = f2(x), эквивалентный выражениям f1(x) - f2(x).

x

Идентификатор или индексируемый идентификатор

a, B

Вещественные числа или числовые выражения, удовлетворяющие a <b. Также - infinity и infinity могут использоваться.

eps

(Маленькое) положительное действительное численное значение, задающее цель точности. Значение по умолчанию 0.01.

Опции

Merge

Опция, заданная как Merge = b

b может быть TRUE или FALSE. С Merge = FALSE numeric::realroots возвращает подынтервалы длины, не больше, чем eps. С Merge = TRUE numeric::realroots объединяет смежные подынтервалы к большим интервалам, т.е. подынтервалам длины, больше, чем eps может быть возвращен.

Настройкой по умолчанию является Merge = FALSE для полиномиальных функций f (x). В противном случае это - Merge = TRUE.

numeric::realroots изолирует интервалы, которые могут содержать корни. Внутренне, все эти интервалы удовлетворяют b i - a i <eps, где eps является целью точности.

С Merge = FALSE возвращены эти интервалы.

С Merge = TRUE, смежными интервалами с b i = a i + 1 объединены к большим интервалам. Смотрите Пример 3 и Пример 4.

Настройкой по умолчанию является Merge = FALSE для полиномиальных функций. В противном случае это - Merge = TRUE.

Возвращаемые значения

Список [[a 1, b 1], [a 2, b 2], …] непересекающихся интервалов с плавающей точкой, которые могут содержать корни f (x). Пустой список возвращен, если никакой корень не существует в поисковом интервале [a, b].

Алгоритмы

Позвольте X быть подмножеством вещественных чисел. Арифметика интервала производит набор F (X), таким образом, что набор значений изображений содержится в F (X). Область MuPAD DOM_INTERVAL упрощает этот вид арифметики. Стандартный numeric::realroots вычисляет для различных подынтервалов. Если F не содержит нуль, то этот подынтервал устраняется из поискового интервала. В противном случае подынтервал возвращен как кандидат на содержание нулей f (x). Однако нельзя прийти к заключению, что F действительно содержит по крайней мере один нуль, поскольку F обычно больше, чем истинный набор изображений ('переоценка').

Для полиномов f (x) называется стандартный polylib::realroots. Его результаты пересечены с поисковым интервалом. Никакая арифметика интервала не используется для многочленных выражений. Для полиномиальных уравнений каждый интервал изоляции, возвращенный numeric::realroots, как гарантируют, будет содержать по крайней мере один корень, если Merge = TRUE будет задан. С настройкой по умолчанию Merge = FALSE для полиномов каждый интервал изоляции, как гарантируют, будет содержать точно один корень.

Смотрите также

Области MuPAD

Функции MuPAD

Темы

Документация Symbolic Math Toolbox
Поддержка
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте