грамм

Управляемость и наблюдаемость

Синтаксис

Wc = gram(sys,'c') Wc = gram(sys,'o') Wc = gram(___,opt)

Описание

Wc = gram(sys,'c') вычисляет управляемость Грамиана состояния-пространства (ss) модель sys.

Wc = gram(sys,'o') вычисляет наблюдаемость Gramian ss модель sys.

Wc = gram(___,opt) вычисляет Грамианы, ограниченные по времени или частоте. opt - набор опций, задающий временные или частотные интервалы для вычислений. Создать opt с использованием gramOptions команда.

Вы можете использовать Gramians для изучения свойств управляемости и наблюдаемости государственно-космических моделей и для уменьшения модели [1]. Они имеют лучшие числовые свойства, чем матрицы управляемости и наблюдаемости, образованные ctrb и obsv.

Учитывая непрерывную модель состояния-пространства

$\begin{array}{l} \overset{}{} \\ x˙=Ax+Buy=Cx+Du \end{array}$

управляемость Gramian определяется

$_{}_{}^{}^{}^{}^{^{}} Wc=∫0∞eAτBBTeATτdτ$

Управляемость Gramian является положительной определенной тогда и только тогда, когда (A, B) является управляемой.

Наблюдаемость Gramian определяется

$_{}_{}^{}^{^{}}^{}^{} Wo=∫0∞eATτCTCeAτdτ$

Наблюдаемость Gramian является положительной определенной тогда и только тогда, когда (A, C) является наблюдаемой.

Дискретно-временные аналоги управляемости и наблюдаемости Gramians

$\begin{matrix} _{}_{}^{}^{}^{Wc=∑k=0∞AkBBT} {(^{} AT}^{)} & _{} \end{matrix}_{}^{} {{k,Wo=∑k=0∞}^{} (}^{} {AT}^{)}^{}$ kCTCAk

соответственно.

Используйте Gramians с ограниченным временем или частотой для изучения управляемости или наблюдаемости состояний в пределах определенных временных или частотных интервалов. Определение этих грамиев таково, как описано в [2].

Примеры

Gramian с ограниченной частотой вычислений

Вычислите Грамиан управляемости следующей модели состояния-пространства. Сосредоточьте вычисления на частотном интервале с наибольшей энергией.

sys = ss([-.1 -1;1 0],[1;0],[0 1],0);

Модель содержит пик со скоростью 1 рад/с. Использовать gramOptions для указания интервала вокруг этой частоты.

opt = gramOptions('FreqIntervals',[0.8 1.2]);
gc = gram(sys,'c',opt)

gc = 2×2

    4.2132   -0.0000
   -0.0000    4.2433

Ограничения

Матрица A должна быть стабильной (все собственные значения имеют отрицательную действительную часть в непрерывном времени и величину строго меньше единицы в дискретном времени).

Алгоритмы

Управляемость Gramian _Wc получается решением уравнения Ляпунова непрерывного времени

$_{AWc} +_{}^{} WcAT^{+}$ BBT = 0

или его дискретно-временной аналог

$_{}^{AWcAT} -_{} Wc^{+}$ BBT = 0

Аналогично, наблюдаемость Грамиана _Во решает уравнение Ляпунова

$^{}_{ATWo} +_{} {WoA}^{} +$ CTC = 0

в непрерывное время, и уравнение Ляпунова

$^{}_{} ATWoA -_{} {Wo}^{} +$ CTC = 0

в дискретное время.

Вычисление Gramians с ограничением по времени и частоте описано в [2].

Ссылки

[1] Кайлат, Т., Линейные системы, Прентис-Холл, 1980.

[2] Гавронски, У. и Дж. Н. Жуанг. «Сокращение модели в ограниченных интервалах времени и частоты». Международный журнал системной науки. Том 21, номер 2, 1990, стр. 349-376.

См. также

balreal | dlyap | gramOptions | hsvd | lyap

Представлен до R2006a

Документация