Документация

Сведения о полиномиальных моделях

Полиномиальные модели для кривых задаются

где n + 1 - порядок многочлена, n - степень многочлена и 1 ≤ n ≤ 9. Порядок даёт количество коэффициентов, которые нужно подогнать, а степень даёт наивысшую степень прогнозирующей переменной.

В этом руководстве полиномы описаны с точки зрения их степени. Например, многочлен третьей степени (кубический) задается как

Многочлены часто используются, когда требуется простая эмпирическая модель. Модель полинома можно использовать для интерполяции или экстраполяции или для характеристики данных с помощью глобального вписывания. Например, преобразование температуры в напряжение для термопары типа J в диапазоне температур от 0 до ^760o описывается многочленом седьмой степени.

Основные преимущества полиномиальных посадок включают разумную гибкость для данных, которые не слишком сложны, и они линейны, что означает, что процесс подгонки прост. Главный недостаток заключается в том, что высокоградусные посадки могут стать нестабильными. Кроме того, многочлены любой степени могут обеспечить хорошую подгонку в пределах диапазона данных, но могут сильно расходиться за пределы этого диапазона. Поэтому будьте осторожны при экстраполяции с полиномами.

При подгонке многочленов высокой степени процедура подгонки использует предикторные значения в качестве основы для матрицы с очень большими значениями, что может привести к проблемам масштабирования. Чтобы справиться с этим, необходимо нормализовать данные путем центрирования их на нулевом среднем уровне и масштабирования до стандартного отклонения единицы измерения. Нормализуйте данные, установив флажок Центр и масштаб (Center and scale) в приложении Фитинг кривой (Curve Fitting).

Подгонка полиномиальных моделей в интерактивном режиме

Для кривых: Polynomial модель соответствует многочлену в x.

Для поверхностей: Polynomial модель соответствует многочлену в x и y.

Можно задать следующие параметры:

Пример сравнения различных полиномиальных посадок см. в разделе Сравнение посадок в приложении «Фитинг кривой».

Подгонка многочленов с помощью функции подгонки

В этом примере показано, как использовать fit для подгонки многочленов к данным. Шаги вписывают и строят полиномиальные кривые и поверхность, задают опции вписывания, возвращают достоверность статистики вписывания, вычисляют прогнозы и показывают доверительные интервалы.

Модель библиотеки полиномов является входным аргументом для функций fit и fittype. Укажите тип модели poly далее следует степень в x (до 9), или x и y (до 5). Например, квадратичная кривая задается с помощью 'poly2' или кубическая поверхность с 'poly33' .

load census;
fitpoly2=fit(cdate,pop,'poly2')
% Plot the fit with the plot method.
plot(fitpoly2,cdate,pop)
% Move the legend to the top left corner.
legend('Location','NorthWest' );

fitpoly2 = 

     Linear model Poly2:
     fitpoly2(x) = p1*x^2 + p2*x + p3
     Coefficients (with 95% confidence bounds):
       p1 =    0.006541  (0.006124, 0.006958)
       p2 =      -23.51  (-25.09, -21.93)
       p3 =   2.113e+04  (1.964e+04, 2.262e+04)

fitpoly3=fit(cdate,pop,'poly3')
plot(fitpoly3,cdate,pop)

Warning: Equation is badly conditioned. Remove repeated data points or try
centering and scaling. 

fitpoly3 = 

     Linear model Poly3:
     fitpoly3(x) = p1*x^3 + p2*x^2 + p3*x + p4
     Coefficients (with 95% confidence bounds):
       p1 =   3.855e-06  (-4.078e-06, 1.179e-05)
       p2 =    -0.01532  (-0.06031, 0.02967)
       p3 =       17.78  (-67.2, 102.8)
       p4 =       -4852  (-5.834e+04, 4.863e+04)

fit3=fit(cdate, pop,'poly3','Normalize','on','Robust','on')
plot(fit3,cdate,pop)

fit3 = 

     Linear model Poly3:
     fit3(x) = p1*x^3 + p2*x^2 + p3*x + p4
       where x is normalized by mean 1890 and std 62.05
     Coefficients (with 95% confidence bounds):
       p1 =     -0.4619  (-1.895, 0.9707)
       p2 =       25.01  (23.79, 26.22)
       p3 =       77.03  (74.37, 79.7)
       p4 =       62.81  (61.26, 64.37)

fitoptions poly3

ans =

    Normalize: 'off'
      Exclude: []
      Weights: []
       Method: 'LinearLeastSquares'
       Robust: 'Off'
        Lower: [1x0 double]
        Upper: [1x0 double]

[fit4, gof]=fit(cdate, pop,'poly3','Normalize','on');
gof

gof = 

  struct with fields:

           sse: 149.7687
       rsquare: 0.9988
           dfe: 17
    adjrsquare: 0.9986
          rmse: 2.9682

plot(fit4,cdate, pop,'residuals');

plot( cdate, pop, 'o' );
xlim( [1900, 2050] );
hold on
plot( fit4 );
hold off

plot(fit4,cdate,pop,'predobs')

plot( cdate, pop, 'o' );
xlim( [1900, 2050] )
hold on
plot( fit4, 'predobs' );
hold off

cdateFuture = (2000:10:2020).';
popFuture = fit4( cdateFuture )

popFuture =

  276.9632
  305.4420
  335.5066

ci = predint( fit4, cdateFuture, 0.95, 'observation' )

ci =

  267.8589  286.0674
  294.3070  316.5770
  321.5924  349.4208

plot(cdate, pop, 'o');
xlim([1900, 2040])
hold on
plot(fit4)
h = errorbar(cdateFuture,popFuture,popFuture-ci(:,1),ci(:,2)-popFuture,'.');
hold off
legend('cdate v pop','poly3','prediction','Location','NorthWest')

load franke;
fitsurface=fit([x,y],z, 'poly44','Normalize','on')
plot(fitsurface, [x,y],z)

     Linear model Poly44:
     fitsurface(x,y) = p00 + p10*x + p01*y + p20*x^2 + p11*x*y + p02*y^2 + p30*x^3 
                    + p21*x^2*y + p12*x*y^2 + p03*y^3 + p40*x^4 + p31*x^3*y 
                    + p22*x^2*y^2 + p13*x*y^3 + p04*y^4
       where x is normalized by mean 1982 and std 868.6
       and where y is normalized by mean 0.4972 and std 0.2897
     Coefficients (with 95% confidence bounds):
       p00 =      0.3471  (0.3033, 0.3909)
       p10 =     -0.1502  (-0.1935, -0.107)
       p01 =     -0.4203  (-0.4637, -0.377)
       p20 =      0.2165  (0.1514, 0.2815)
       p11 =      0.1717  (0.1175, 0.2259)
       p02 =     0.03189  (-0.03351, 0.09729)
       p30 =     0.02778  (0.00749, 0.04806)
       p21 =     0.01501  (-0.002807, 0.03283)
       p12 =    -0.03659  (-0.05439, -0.01879)
       p03 =      0.1184  (0.09812, 0.1387)
       p40 =    -0.07661  (-0.09984, -0.05338)
       p31 =    -0.02487  (-0.04512, -0.004624)
       p22 =   0.0007464  (-0.01948, 0.02098)
       p13 =    -0.02962  (-0.04987, -0.009366)
       p04 =    -0.02399  (-0.0474, -0.0005797)

Опции подгонки полиномиальной модели

Все методы фитинга имеют свойства по умолчанию Normalize, Exclude, Weights, и Method. Пример см. в разделе Задание параметров вписывания в командной строке.

Полиномиальные модели имеют Method значение свойства LinearLeastSquaresи дополнительные свойства опций посадки, показанные в следующей таблице. Для получения подробной информации обо всех опциях посадки см. fitoptions справочная страница.

Определение полиномиальных членов для посадок полиномиальной поверхности

Можно управлять членами, включаемыми в модель полиномиальной поверхности, путем задания степеней для входных значений x и y. Если i - степень в x, а j - степень в y, общая степень многочлена равна максимуму i и j. Степень x в каждом члене меньше или равна i, а степень y в каждом члене меньше или равна j. Максимальное значение для i и j равно пяти.

Например:

poly21  Z = p00 + p10*x + p01*y + p20*x^2 + p11*x*y

poly13  Z = p00 + p10*x + p01*y + p11*x*y + p02*y^2 
                      + p12*x*y^2 + p03*y^3

poly55  Z = p00 + p10*x + p01*y +...+ p14*x*y^4 
                      + p05*y^5

Например, если указать степень x 3 и степень y 2, имя модели: poly32. Термины модели следуют за формой в этой таблице.

Общая степень многочлена не может превышать максимум i и j. В этом примере такие термины, как ^x3y и ^x2y2, исключаются, поскольку их степени составляют более 3. В обоих случаях общая степень составляет 4.