Рассмотрим следующую передаточную функцию.

sys = tf(3,[1 2 3])

sys =
 
        3
  -------------
  s^2 + 2 s + 3
 
Continuous-time transfer function.

Для вычисления отклика этой системы на произвольный входной сигнал предусмотреть lsim с вектором времени t при котором требуется вычислить отклик и вектор u содержащий соответствующие значения сигнала. Например, постройте график ответа системы на сигнал шага нарастания, который начинается в 0 в момент времени. t = 0, пандусы от 0 при t = 1 до 1 при t = 2, а затем устойчиво держится на уровне 1. Определить t и вычислить значения u.

t = 0:0.04:8;  % 201 points
u = max(0,min(t-1,1));

Использовать lsim без выходного аргумента для построения графика ответа системы на сигнал.

lsim(sys,u,t)
grid on

На графике показаны примененные входные данные (u,t) серым цветом, а отклик системы - синим.

Использовать lsim с выходным аргументом для получения смоделированных данных ответа.

y = lsim(sys,u,t);
size(y)

ans = 1×2

   201     1

Вектор y содержит смоделированный ответ в соответствующее время в t.

Использовать gensig(Панель инструментов системы управления) для создания периодических входных сигналов, таких как синусоидальные и квадратные волны, для использования с lsim. Моделирование отклика на квадратную волну следующей модели состояния-пространства SISO.

A = [-3 -1.5; 5 0];
B = [1; 0];
C = [0.5 1.5];
D = 0;
sys = ss(A,B,C,D);

Для этого примера создайте квадратную волну с периодом 10 с и длительностью 20 с.

[u,t] = gensig("square",10,20);

gensig возвращает вектор t временных шагов и вектора u содержащий соответствующие значения входного сигнала. (Если не указать время выборки для t, то gensig генерирует 64 выборки за период.) Используйте их с lsim и постройте график ответа системы.

lsim(sys,u,t)
grid on

График показывает приложенную квадратную волну серым цветом и отклик системы синим. Звонить lsim с выходным аргументом для получения значений ответа в каждой точке в t.

[y,~] = lsim(sys,u,t);

При моделировании отклика дискретно-временной системы вектор времени t должен иметь форму Ti:dT:Tf, где dT - время выборки модели. Смоделировать отклик следующей дискретно-временной передаточной функции на вход шага клина.

sys = tf([0.06 0.05],[1 -1.56 0.67],0.05);

Эта передаточная функция имеет время выборки 0,05. Используйте то же время выборки для генерации вектора времени. t и сигнал ступенчатого шага u.

t = 0:0.05:4;  
u = max(0,min(t-1,1));

Постройте график ответа системы.

lsim(sys,u,t)

Для моделирования отклика дискретно-временной системы на периодический входной сигнал используйте одно и то же время выборки с gensig для формирования входных данных. Например, смоделировать отклик системы на синусоидальную волну с периодом 1 с и длительностью 4 с.

[u,t] = gensig("sine",1,4,0.05);

Постройте график ответа системы.

lsim(sys,u,t)

lsim позволяет построить график смоделированных откликов нескольких динамических систем на одной оси. Например, сравните отклик системы по замкнутому контуру с PI-контроллером и PID-контроллером. Создайте передаточную функцию системы и настройте контроллеры.

H = tf(4,[1 10 25]);
C1 = pidtune(H,'PI');
C2 = pidtune(H,'PID');

Сформировать замкнутые системы.

sys1 = feedback(H*C1,1);
sys2 = feedback(H*C2,1);

Постройте график откликов обеих систем на квадратную волну с периодом 4 с.

[u,t] = gensig("square",4,12);
lsim(sys1,sys2,u,t)
grid on
legend("PI","PID")

По умолчанию lsim выбирает различные цвета для каждой системы, для которой выполняется печать. Цвета и стили линий можно задать с помощью команды LineSpec входной аргумент.

 lsim(sys1,"r--",sys2,"b",u,t)
 grid on
 legend("PI","PID")

Первое LineSpec "r--" указывает пунктирную красную линию для ответа с PI-контроллером. Второе LineSpec "b" указывает сплошную синюю линию для ответа с контроллером PID. Легенда отражает заданные цвета и стили линий. Для получения дополнительных параметров настройки печати используйте lsimplot.

В системе MIMO на каждом шаге времени t, вход u(t) - вектор, длина которого является числом входов. Использовать lsim, вы указываете u как матрица с размерами Ntоколо-Nu, где Nu - количество системных входов и Nt - длина t. Другими словами, каждый столбец u - входной сигнал, подаваемый на соответствующий системный вход. Например, чтобы смоделировать систему с четырьмя входами в течение 201 шага времени, обеспечьте u в виде матрицы из четырех столбцов и 201 строки, где каждая строка u(i,:) - вектор входных значений в iтретий временной шаг; каждый столбец u(:,j) - сигнал, подаваемый в j-й вход.

Аналогично, выходные данные y(t) вычислено по lsim - матрица, столбцы которой представляют сигнал на каждом системном выходе. При использовании lsim для построения графика смоделированного ответа, lsim обеспечивает отдельные оси для каждого выхода, представляющие отклик системы в каждом выходном канале на вход u(t) применяется на всех входах.

Рассмотрим модель пространства состояний с двумя входами и тремя выходами со следующими матрицами пространства состояний.

A = [-1.5  -0.2   1.0;
     -0.2  -1.7   0.6;
      1.0   0.6  -1.4];
  
B = [ 1.5  0.6;
     -1.8  1.0;
      0    0  ];

C = [ 0    -0.5 -0.1;
      0.35 -0.1 -0.15
      0.65  0    0.6];
  
D = [ 0.5  0;
      0.05 0.75
      0    0];

sys = ss(A,B,C,D);

Постройте график ответа sys к квадратной волне периода 4 с, применяемой к первому входу sys и импульс, подаваемый на второй вход каждые 3 с. Для этого создайте векторы столбцов, представляющие квадратную волну и импульсный сигнал, используя gensig. Затем скопируйте столбцы во входную матрицу. Чтобы два сигнала имели одинаковое количество выборок, укажите одинаковое время окончания и время выборки.

Tf = 10;
Ts = 0.1;
[uSq,t] = gensig("square",4,Tf,Ts);
[uP,~] = gensig("pulse",3,Tf,Ts);
u = [uSq uP];
lsim(sys,u,t)

Каждая ось показывает отклик одного из трех выходов системы на сигналы u применяется на всех входах. На каждом графике также показаны все входные сигналы серым цветом.

По умолчанию lsim моделирует модель, предполагая, что все состояния равны нулю в начале моделирования. При моделировании отклика модели пространства состояний используйте опциональное x0 входной аргумент для указания ненулевых значений начального состояния. Рассмотрим следующую модель состояния-пространства SISO с двумя состояниями.

A = [-1.5 -3;
      3   -1];
B = [1.3; 0];
C = [1.15 2.3];
D = 0;
          
sys = ss(A,B,C,D);

Предположим, что необходимо разрешить системе эволюционировать из известного набора начальных состояний без ввода в течение 2 с, а затем применить единичное изменение шага. Укажите вектор x0 исходных значений состояния и создать входной вектор.

x0 = [-0.2 0.3];
t = 0:0.05:8;
u = zeros(length(t),1);
u(t>=2) = 1;
lsim(sys,u,t,x0)
grid on

Первая половина графика показывает свободную эволюцию системы от начальных значений состояния [-0.2 0.3]. В t = 2 на графике показана реакция системы на этот новый сигнал, начиная со значений состояния в это время.

При использовании lsim с выходными аргументами возвращает смоделированные данные ответа в массиве. Для системы SISO данные ответа возвращаются в виде вектора столбца той же длины, что и t. Например, извлекают отклик системы SISO на квадратную волну. Создание квадратной волны с помощью gensig.

sys = tf([2 5 1],[1 2 3]);
[u,t] = gensig("square",4,10,0.05);
[y,t] = lsim(sys,u,t);
size(y)

ans = 1×2

   201     1

Вектор y содержит смоделированный ответ на каждом временном шаге в t. (lsim возвращает вектор времени t для удобства.)

Для системы MIMO ответные данные возвращаются в массиве измерений N-by-Ny-by-Nu, где Ny и Nu - количество выходов и входов динамической системы. Например, рассмотрим следующую модель состояния-пространства, представляющую систему с тремя состояниями с двумя входами и тремя выходами.

A = [-1.5  -0.2   1.0;
     -0.2  -1.7   0.6;
      1.0   0.6  -1.4];
  
B = [ 1.5  0.6;
     -1.8  1.0;
      0    0  ];

C = [ 0   -0.1 -0.2;
      0.7 -0.2 -0.3
     -0.65 0   -0.6];
  
D = [ 0.1  0;
      0.1  1.5
      0    0];

sys = ss(A,B,C,D);

Извлеките отклики трех выходных каналов на квадратную волну, применяемую на обоих входах.

uM = [u u];
[y,t] = lsim(sys,uM,t);
size(y)

ans = 1×2

   201     3

y(:,j) - вектор столбца, содержащий отклик на выходе j на квадратную волну, применяемую к обоим входам. То есть y(i,:) - вектор из трех значений, выходные значения на i-м временном шаге.

Поскольку sys является моделью состояния-пространства, можно извлечь эволюцию во времени значений состояния в ответ на входной сигнал.

[y,t,x] = lsim(sys,uM,t);
size(x)

ans = 1×2

   201     3

Каждая строка x содержит значения состояния [x1,x2,x3] в соответствующее время в t. Другими словами, x(i,:) - вектор состояния на i-м временном шаге. Постройте график значений состояния.

plot(t,x)

В примере «График ответа нескольких систем на один и тот же вход» показано, как построить график ответов нескольких отдельных систем на одной оси. Если в массиве модели расположено несколько динамических систем, lsim строит графики всех их ответов сразу.

Создайте массив модели. В этом примере используется одномерный массив передаточных функций второго порядка, имеющих различные собственные частоты. Сначала необходимо предварительно выделить память для массива модели. Следующая команда создает строку 1 на 5 функций передачи SISO с нулевым коэффициентом усиления. Первые два размера представляют выходные и входные данные модели. Остальные размеры - это размеры массива. (Дополнительные сведения о массивах моделей и их создании см. в разделе Массивы моделей (панель инструментов системы управления).)

sys = tf(zeros(1,1,1,5));

Заполните массив.

w0 = 1.5:1:5.5;    % natural frequencies
zeta = 0.5;        % damping constant
for i = 1:length(w0)
   sys(:,:,1,i) = tf(w0(i)^2,[1 2*zeta*w0(i) w0(i)^2]);
end

Постройте график откликов всех моделей в массиве на вход прямоугольной волны.

[u,t] = gensig("square",5,15);
lsim(sys,u,t)

lsim использует один и тот же стиль строки для ответов всех записей в массиве. Одним из способов различить записи является использование SamplingGrid свойство динамических моделей системы для связывания каждой записи в массиве с соответствующей w0 значение.

sys.SamplingGrid = struct('frequency',w0);

Теперь при построении графика откликов в окне фигуры MATLAB можно щелкнуть трассировку, чтобы увидеть, какому значению частоты она соответствует.

Данные оценки нагрузки для оценки модели.

load(fullfile(matlabroot,'toolbox','ident','iddemos','data','dcmotordata'));
z = iddata(y,u,0.1,'Name','DC-motor');

z является iddata объект, который хранит данные оценки с одним входом и двумя выходами с временем выборки 0,1 с.

Оценка модели состояния-пространства порядка 4 с использованием данных оценки z.

[sys,x0] = n4sid(z,4);

sys - расчетная модель и x0 - предполагаемые начальные состояния.

Моделирование реакции sys используют те же входные данные, что и данные, используемые для оценки, и исходные состояния, возвращаемые командой оценки.

[y,t,x] = lsim(sys,z.InputData,[],x0);

Здесь, y - ответ системы, t вектор времени, используемый для моделирования, и x - траектория состояния.

Сравнение смоделированного ответа y на измеренный отклик z.OutputData для обоих выходов.

subplot(211), plot(t,z.OutputData(:,1),'k',t,y(:,1),'r')
legend('Measured','Simulated')
subplot(212), plot(t,z.OutputData(:,2),'k',t,y(:,2),'r')
legend('Measured','Simulated')

Выбор времени выборки может резко повлиять на результаты моделирования. Для иллюстрации причин рассмотрим следующую модель второго порядка.

w2 = 62.83^2;
sys = tf(w2,[1 2 w2]);

tau = 1;
Tf = 5;
Ts = 0.1;
[u,t] = gensig("square",tau,Tf,Ts);
lsim(sys,u,t)

figure
Ts2 = 0.01;
[u2,t2] = gensig("square",tau,Tf,Ts2);
lsim(sys,u2,t2)